Sai đề rồi nha bạn! Điều kiện:  \(x^2+y^3\ge x^3+y^4\)

Sử dụng bất đẳng thức  \(C-S,\)  ta có:

\(\left(x^3+y^3\right)^2=\left(x\sqrt{x}.x\sqrt{x}+y^2.y\right)^2\le\left(x^3+y^4\right)\left(x^3+y^2\right)\le\left(x^2+y^3\right)\left(x^3+y^2\right)\)

\(\le\left(\frac{x^2+y^3+x^3+y^2}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow\)  \(x^3+y^3\le\frac{x^2+y^3+x^3+y^2}{2}\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x^3+y^3\le x^2+y^2\) \(\left(1\right)\)

Lại có:   \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(x\sqrt{x}.\sqrt{x}+y\sqrt{y}.\sqrt{y}\right)^2\le\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\le\left(x^2+y^2\right)\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\)  \(x^2+y^2\le x+y\)  \(\left(2\right)\)

Mặt khác, từ  \(\left(2\right)\)  với lưu ý rằng  \(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) \(\left(i\right)\)và  \(x,y\in R^+\) , ta thu được:

 \(x^2+y^2\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\) \(\Leftrightarrow\)  \(x^2+y^2\le2\)   \(\left(3\right)\)

nên do đó,  \(\left(i\right)\)  suy ra \(x+y\le\sqrt{2.2}=2\)  \(\left(4\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\)  và  \(\left(4\right)\)  ta có đpcm

2.

a/ Áp dụgn hệ quả bđt cô si,ta có :

\(A=xy+yz+zx\le\dfrac{\left(x+y+z\right)}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)

Vậy GTLN A =a^2/3 khi x= y =z =a/3

b/Áp dụng BĐT Cô-Si dạng Engel,ta có :

\(B=\dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{1}+\dfrac{z^2}{z}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\dfrac{a^2}{3}\)

Vậy GTNN của B = a^2/2 khi x=y=z =a/3

\(B=\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+7\ge2\sqrt{\dfrac{3x}{1-x}.\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}}+7=7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^2\)

Vậy min B = \(\left(2+\sqrt{3}\right)^2\) khi \(\dfrac{3x}{1-x}=\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}\Leftrightarrow x=\left(\sqrt{3}-1\right)^2\)

2) a) \(x^2-3=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\)

b) \(x^2-6=\left(x-\sqrt{6}\right).\left(x+\sqrt{6}\right)\)

c) = \(x^2+2x.\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^2=\left(x+\sqrt{3}\right)^2\)

d) = \(x^2-2x\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2=\left(x-\sqrt{5}\right)^2\)