https://thi.tuyensinh247.com/de-thi-thu-vao-lop-10-mon-toan-lan-3-phong-gddt-gia-loc-2016-c31a28113.html

Hình tự vẽ nha

a) Vì A,B,D thuộc ( O; AD/2 ) 

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=90^0\)

Vì \(EF\perp AD\Rightarrow\widehat{EFA}=90^0\)

Xét tứ giác  ABEF có góc \(\widehat{ABE}=\widehat{AFE}=90^0\)

mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác ABEF

\(\Rightarrow ABEF\)nội tiếp ( dhnb )

b)  Vì A,C,D thuộc ( O; AD/2 ) 

\(\Rightarrow\widehat{ECD}=90^0\) 

Xét tứ giác EFDC có: \(\widehat{ECD}=\widehat{EFD}=90^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác EFDC

\(\Rightarrow EFDC\)nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{ECF}=\widehat{EDF}\)( cùng chắn cung EF )

Lại có: \(\widehat{BCA}=\widehat{BDA}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{AB}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BCA}=\widehat{ACF}\)

=> AC là phân giác góc BCF 

a) \(BEFI\)nội tiếp vì \(\widehat{BEF}=\widehat{BIF}=90^o\).

b) \(\widehat{ADC}\)là góc nội tiếp chắn cung \(\widebat{AC}\).

\(\widehat{CBE}\)là góc nội tiếp chắn cung \(\widebat{CE}\).

\(\widebat{AC}=\widebat{CE}\)suy ra \(\widehat{ADC}=\widehat{CBE}\).

Gọi I là trung điểm của BC => BI=IC=1/2 BC (1)

Vì tam giác FBC vuông tại F; FI là đường trung trực của BC =>FI = 1/2 BC (2)

Tương tự => EI = 1/2 BC (3)

Từ (1), (2) và (3) =>EI = BI = IC = FI = 1/2 BC

=>E, B, C, F thuộc một đường tròn

B C O D M A I

Bài làm

a) Ta có: A thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính BC

=> Tam giác ABC vuông tại A

=> \(\widehat{BAC}=90^0\Rightarrow\widehat{ADC}=90^0\)

Lại có: M thuộc nửa đường tròn tâm O đường kính BC

=> Tam giác MBC vuông tại A

=> \(\widehat{BMC}=90^0\Rightarrow\widehat{BMD}=90^0\)

Xét tứ giác AIMD có:

\(\widehat{ADC}=\widehat{DMB}=90^0\)

=> Tứ giác AIMD là tứ giác nội tiếp đường tròn. (đpcm).

b) Xét tam giác BAI và tam giác CMI có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{CMB}=90^0\)

\(\widehat{AIB}=\widehat{MIC}\)(đối)

=> Tam giác BAI đồng dạng với tam giác CMI (g-g)

=> \(\frac{AI}{IM}=\frac{BI}{IC}\Rightarrow AI.IC=BI.IM\left(\text{đ}pcm\right)\)

~ Không hiểu gì inbox hỏi mình ~

a) Ta có: \(\hept{\begin{cases}EM\perp AB\\AE\perp BC\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{BME}=90^0\\\widehat{BDE}=90^0\end{cases}}}\)

Xét tứ giác BDEM có: \(\widehat{BME}+\widehat{BDE}=180^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau của tứ giác BDEM

\(\Rightarrow BDEM\)nội tiếp ( dhnb )

b) Vì \(EQ\perp xy\)\(\Rightarrow\widehat{EQA}=90^0\)

Xét tứ giác EMQA có: 

\(\widehat{EMA}=\widehat{EQA}\left(=90^0\right)\)Mà 2 đỉnh M,Q cùng nhìn cạnh AE dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow EMQA\)nội tiếp ( dhnb)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{MQE}=\widehat{MAE\left(1\right)}\\\widehat{QAM}=\widehat{QEM}\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\widehat{MAE}=\widehat{BCE}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\right)\left(3\right)\)

Vì EK vuông góc với AC \(\Rightarrow\widehat{EKC}=90^0\)

Xét tứ giác EDKC có: \(\widehat{EDC}=\widehat{EKC}\left(=90^0\right)\)

Mà 2 đỉnh D,K cùng nhìn cạnh EC dưới 2 góc vuông

\(\RightarrowÉDKC\)nội tiếp ( dhnb )

\(\Rightarrow\widehat{DKE}=\widehat{BCE}\left(4\right)\)và \(\widehat{DEK}=\widehat{DCK}\left(5\right)\)

Từ (1) , (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{DKE}=\widehat{MQE}\)

Xét (O) có AQ là tiếp tuyến của (O) ; AB là dây cung 

\(\Rightarrow\widehat{QAB}=\widehat{ACB}\left(6\right)\)

Từ (2) ,(5) và (6)  \(\Rightarrow\widehat{MEQ}=\widehat{DEK}\)

Xét tam giác EQM và tam giác EKD có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{MEQ}=\widehat{DEK}\left(cmt\right)\\\widehat{MQE}=\widehat{DKE}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta EQM~\Delta EKD\left(g-g\right)}\)

c) Gọi AG là đường kính của (O)

Vì tam giác HCE có CD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác HCE

\(\Rightarrow\Delta HCE\)cân tại C

=> CD cũng là tia phân giác góc HCE

\(\Rightarrow\widehat{HCD}=\widehat{DCE}\)(7)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{DCE}=\widehat{NAD}\\\widehat{NHA}=\widehat{DHC}\left(2goc-đoi-đinh\right)\\\widehat{DHC}+\widehat{HCD}=90^0\end{cases}}\)kết hợp với (7)

\(\Rightarrow\widehat{NAH}+\widehat{NHA}=90^0\)

Xét tam giác NAH có: \(\widehat{NAH}+\widehat{NHA}+\widehat{ANH}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ANH}=90^0\)

\(\Rightarrow CN\perp AB\)

Xét tam giác ABC có: \(\hept{\begin{cases}CN\perp AB\\AD\perp BC\end{cases}}\); CN cắt AD tại H

\(\Rightarrow H\)là trực tâm của tam giác ABC

\(\Rightarrow BF\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=90^0\)

Ta có: tứ giác BNFC nội tiếp ( cái này dễ , có 2 góc vuông = nhau; tự cm nha vì bài dài )

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{AFN}\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AGC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AFN}=\widehat{AGC}\)Mà \(\widehat{AGC}+\widehat{GAC}=90^0\)( ko hiểu thì hỏi nhé, làm tắt vì bài dài )

\(\Rightarrow\widehat{AFN}+\widehat{GAC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{APF}=90^0\)

\(\Rightarrow AG\perp NF\)(8)

+) Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{MDE}=\widehat{MBE}\left(MBDEnt\right)\\\widehat{MBE}=\widehat{ACE}\left(ABECnt\right)\\\widehat{ACE}=\widehat{ADK}\left(DECKnt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{MDE}=\widehat{ADK}\)mà \(\widehat{MDE}+\widehat{MDA}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ADK}+\widehat{MDA}=180^0\)

\(\Rightarrow M,D,K\)thẳng hàng

Lại có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{DME}=\widehat{DBE}\\\widehat{BED}=\widehat{BAQ}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{BA}\right)\\\widehat{BAQ}=\widehat{QEM}\end{cases}}\)mà \(\widehat{DBE}+\widehat{DEB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{QEM}+\widehat{DME}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MIE}=90^0\)

\(\Rightarrow QE\perp MK\) Mà \(QE//AG\)( cùng vuông góc với AQ )

\(\Rightarrow AG\perp MK\)(9)

Từ (8) và (9) \(\Rightarrow NF//MK\left(đpcm\right)\)