Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(4MA=3MB\)
=>\(MA=\frac34MB\)
=>\(S_{CMA}=\frac34\cdot S_{CMB};S_{IMA}=\frac34\cdot S_{IMB}\)
=>\(S_{CMA}-S_{IMA}=\frac34\left(S_{CMB}-S_{IMB}\right)\)
=>\(S_{CIA}=\frac34\cdot S_{CIB}\)
Ta có: NC=2NA
=>\(S_{BNC}=2\cdot S_{BNA};S_{INC}=2\cdot S_{INA}\)
=>\(S_{BNC}-S_{INC}=2\cdot\left(S_{BNA}-S_{INA}\right)\)
=>\(S_{BIC}=2\cdot S_{BIA}\)
=>\(S_{CIA}=\frac34\cdot2\cdot S_{BIA}=\frac32\cdot S_{AIB}\)
Ta có: MA+MB=AB
=>\(AB=\frac43MA+MA=\frac73MA\)
=>\(AM=\frac37AB\)
=>\(S_{AMI}=\frac37\cdot S_{AIB}\)
=>\(\frac{S_{AIC}}{S_{AMI}}=\frac32:\frac37=\frac72\)
=>\(\frac{IC}{IM}=\frac72\)
=>\(\frac{CI}{CM}=\frac79\)
Ta có: \(S_{CIA}=\frac32\cdot S_{AIB}\)
NA+NC=AC
=>AC=2NA+NA=3NA
=>\(S_{AIC}=3\cdot S_{AIN}\)
=>\(\frac32\cdot S_{AIB}=3\cdot S_{AIN}\)
=>\(\frac12\cdot S_{AIB}=S_{AIN}\)
=>\(S_{AIB}=2\cdot S_{AIN}\)
=>BI=2IN
=>\(BI=\frac23BN\)
\(3\cdot\overrightarrow{IB}+2\cdot\overrightarrow{IC}\)
\(=-3\cdot\overrightarrow{BI}-2\cdot\overrightarrow{CI}\)
\(=-3\cdot\frac23\cdot\overrightarrow{BN}-2\cdot\frac79\cdot\overrightarrow{CM}=-2\cdot\overrightarrow{BN}-\frac{14}{9}\cdot\overrightarrow{CM}\)
\(=-2\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}\right)-\frac{14}{9}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AM}\right)\)
\(=-2\left(-\overrightarrow{AB}+\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\right)-\frac{14}{9}\left(-\overrightarrow{AC}+\frac37\cdot\overrightarrow{AB}\right)=2\cdot\overrightarrow{AB}-\frac23\cdot\overrightarrow{AC}+\frac{14}{9}\cdot\overrightarrow{AC}-\frac23\cdot\overrightarrow{AB}\)
\(=\frac43\cdot\overrightarrow{AB}+\frac89\cdot\overrightarrow{AC}\)
\(4\cdot\overrightarrow{AI}=4\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}\right)\)
\(=4\left(\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\overrightarrow{BN}\right)=4\cdot\left(\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\overrightarrow{BA}+\frac23\cdot\overrightarrow{AN}\right)\)
\(=4\left(\frac13\cdot\overrightarrow{AB}+\frac23\cdot\frac13\cdot\overrightarrow{AC}\right)=4\left(\frac13\cdot\overrightarrow{AB}+\frac29\cdot\overrightarrow{AC}\right)=\frac43\cdot\overrightarrow{AB}+\frac89\cdot\overrightarrow{AC}\)
Do đó: \(4\cdot\overrightarrow{AI}=3\cdot\overrightarrow{IB}+2\cdot\overrightarrow{IC}\)
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1: Cho tam giác ABC và 1 điểm M trên cạnh BC. Khi đó: \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{MC}{BC}\overrightarrow{AB}+\dfrac{MB}{BC}\overrightarrow{AC}\)
Thật vậy, ta có \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)\)
\(=\left(1-\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AB}\right)+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AC}\)
\(=\dfrac{CM}{BC}\overrightarrow{AB}+\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AC}\), bổ đề 1 được chứng minh.
Gọi P là giao điểm của AI và BC. Ta có:
\(\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{PB}{PC}.\dfrac{NC}{NA}=1\) \(\Rightarrow x.\dfrac{PB}{PC}.\dfrac{1}{y}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{PB}{PC}=\dfrac{y}{x}\) \(\Rightarrow\dfrac{CP}{CB}=\dfrac{x}{x+y}\)
Mặt khác, \(\dfrac{IP}{IA}.\dfrac{MA}{MB}.\dfrac{CB}{CP}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IP}{IA}.x.\dfrac{x+y}{x}=1\) \(\Rightarrow\dfrac{IP}{IA}=\dfrac{1}{x+y}\)
Do đó \(\overrightarrow{AI}=\left(x+y\right)\overrightarrow{IP}\)
Mà theo bổ đề 1: \(\overrightarrow{IP}=\dfrac{PC}{BC}\overrightarrow{IB}+\dfrac{PB}{BC}\overrightarrow{IC}\)
\(=\dfrac{x}{x+y}\overrightarrow{IB}+\dfrac{y}{x+y}\overrightarrow{IC}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AI}=x\overrightarrow{IB}+y\overrightarrow{IC}\) (đpcm)
\(AM=AB+BM=13\left(cm\right)\)
\(AN=AC+CN=16\left(cm\right)\)
\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.sinA\Rightarrow sinA=\dfrac{2S_{ABC}}{AB.AC}=\dfrac{3}{4}\)
\(\Rightarrow S_{AMN}=\dfrac{1}{2}AM.AN.sinA=\dfrac{1}{2}.13.16.\dfrac{3}{4}=...\)
Vì \(\frac{MA}{MB}=\frac25\)
nên \(S_{CMA}=\frac25\times S_{CMB};S_{IMA}=\frac25\times S_{IMB}\)
=>\(S_{CMA}-S_{IMA}=\frac25\times\left(S_{CMB}-S_{IMB}\right)\)
=>\(S_{CIA}=\frac25\times S_{CIB}\)
Vì \(\frac{BN}{NC}=\frac13\)
nên \(S_{ANB}=\frac13\times S_{ANC};S_{INB}=\frac13\times S_{INC}\)
=>\(S_{ANB}-S_{INB}=\frac13\times\left(S_{ANC}-S_{INC}\right)\)
=>\(S_{AIB}=\frac13\times S_{AIC}\)
=>\(S_{AIB}=\frac13\times\frac25\times S_{CIB}=\frac{2}{15}\times S_{CIB}\)
Vì \(\frac{BN}{NC}=\frac13\)
nên NC=3BN
Ta có: NC+BN=BC
=>BC=3BN+BN=4BN
=>\(BN=\frac14\cdot BC\)
=>\(S_{INB}=\frac14\cdot S_{IBC}\)
=>\(\frac{S_{AIB}}{S_{IBN}}=\frac{2}{15}:\frac14=\frac{8}{15}\)
=>\(\frac{AI}{IN}=\frac{8}{15}\)
=>\(\frac{AI}{AN}=\frac{8}{23}\)
Vì \(\frac{AM}{MB}=\frac25\)
nên \(AM=\frac25MB\)
Ta có: AM+MB=AB
=>\(AB=\frac25MB+MB=\frac75MB\)
=>\(MB=\frac57BA\)
=>\(S_{BMI}=\frac57\cdot S_{BIA}=\frac57\cdot\frac{2}{15}\cdot S_{BIC}=\frac{10}{105}\cdot S_{BIC}=\frac{2}{21}\cdot S_{BIC}\)
=>\(\frac{MI}{IC}=\frac{2}{21}\)
=>\(\frac{CI}{IM}=\frac{21}{2}\)
Nối A với O.
Ta có: SABN = 1/3 SBNC nên đường cao kẻ từ A và C xuống NB có tỉ lệ 1/3
Suy ra SABO = 1/3 SBOC (chung đáy OB)
Tương tự:
SAMC = 1/2SBMC nên dường cao kẻ từ A và B xuống MC có tỉ lệ 1/2
Suy ra SAOC = 1/2 SBOC (chung đáy OC)
Từ đó ta có: SAOC + SAOB = (1/3+1/2)SBOC = 5/6 SBOC
SAOC + SAOB có 5 phần thì SBOC có 6 phần và SABC có (5+6) 11 phần
Vậy: AOCB = 6/11 SABC
mình nghĩ tam giác IMB và INC bằng nhau