Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
- Đường thẳng AB:
- Vectơ chỉ phương (VTCP): \(\overrightarrow{AB} = (3 - 2; 1 - 4) = (1; -3)\).
- Vectơ pháp tuyến (VTPT): \(\vec{n}_{AB} = (3; 1)\).
- Phương trình tổng quát đi qua \(A(2; 4)\):
\(3(x-2)+1(y-4)=0\iff \mathbf{3x+y-10=0}\)
- Đường thẳng BC:
- Vectơ chỉ phương (VTCP): \(\overrightarrow{BC} = (1 - 3; 4 - 1) = (-2; 3)\).
- Vectơ pháp tuyến (VTPT): \(\vec{n}_{BC} = (3; 2)\).
- Phương trình tổng quát đi qua \(B(3; 1)\):
\(3(x-3)+2(y-1)=0\iff \mathbf{3x+2y-11=0}\)
- Đường thẳng CA:
- Nhận xét nhanh: Điểm \(A(2; 4)\) và \(C(1; 4)\) có cùng tung độ bằng \(4\). Do đó, CA là một đường thẳng nằm ngang.
- Phương trình tổng quát: \(\mathbf{y-4=0}\)
+) Đường thẳng \((\Delta)\) đi qua A và song song với BC:
- Vì \((\Delta) \parallel BC\) nên \((\Delta)\) nhận VTPT của \(BC\) làm VTPT: \(\vec{n}_{\Delta} = \vec{n}_{BC} = (3; 2)\).
- Phương trình \((\Delta)\) đi qua \(A(2; 4)\):
\(3(x-2)+2(y-4)=0\iff \mathbf{3x+2y-14=0}\)
+) Đường thẳng \((\Delta)\) đi qua B và vuông góc với AC:
- Vì \((\Delta) \perp AC\) nên \((\Delta)\) nhận VTCP của \(AC\) (hoặc \(CA\)) làm VTPT.
- Ta có \(\overrightarrow{CA} = (2-1; 4-4) = (1; 0) \implies \vec{n}_{\Delta} = (1; 0)\).
- Phương trình \((\Delta)\) đi qua \(B(3; 1)\):
\(1(x-3)+0(y-1)=0\iff \mathbf{x-3=0}\)
b) Lập phương trình đường tròn tâm A, tiếp xúc với BCĐường tròn có tâm \(A(2; 4)\). Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng \(BC: 3x + 2y - 11 = 0\) nên bán kính \(R\) chính bằng khoảng cách từ \(A\) đến \(BC\):\(R=d(A,BC)=\frac{|{}3\cdot 2+2\cdot 4-11|{}}{\sqrt{3^{2}+2^{2}}}=\frac{|{}6+8-11|{}}{\sqrt{13}}=\frac{3}{\sqrt{13}}\)
\(\implies R^{2}=\frac{9}{13}\)Phương trình đường tròn tâm A cần tìm là:
\(\mathbf{(x-2)}^{\mathbf{2}}\mathbf{+(y-4)}^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{9}}{\mathbf{13}}\)
c) Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCGọi phương trình đường tròn ngoại tiếp có dạng tổng quát là:
\((C):x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0\quad (a^{2}+b^{2}-c>0)\)Vì đường tròn đi qua cả 3 điểm \(A(2; 4)\), \(B(3; 1)\), \(C(1; 4)\), tọa độ của chúng phải thỏa mãn phương trình trên. Ta lập hệ phương trình:
\(\begin{cases}2^{2}+4^{2}-2a(2)-2b(4)+c=0\quad (\text{thay\ }A)\\ 3^{2}+1^{2}-2a(3)-2b(1)+c=0\quad (\text{thay\ }B)\\ 1^{2}+4^{2}-2a(1)-2b(4)+c=0\quad (\text{thay\ }C)\end{cases}\iff \begin{cases}-4a-8b+c=-20\\ -6a-2b+c=-10\\ -2a-8b+c=-17\end{cases}\)Giải hệ phương trình bằng phương pháp bấm máy tính hoặc thế số:
- Lấy phương trình (1) trừ phương trình (3): \(-2a = -3 \iff a = \frac{3}{2}\)
- Thay \(a = \frac{3}{2}\) vào (1) và (2) để tìm \(b\) và \(c\), ta được kết quả: \(b = \frac{11}{6}\) và \(c = \frac{2}{3}\).
\(x^{2}+y^{2}-3x-\frac{11}{3}y+\frac{2}{3}=0\)Hoặc viết dưới dạng chính tắc (Tâm \(I(\frac{3}{2}; \frac{11}{6})\), bán kính \(R^2 = a^2+b^2-c = \frac{85}{36}\)):
\(\left(\mathbf{x-}\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\right)^{\mathbf{2}}\mathbf{+}\left(\mathbf{y-}\frac{\mathbf{11}}{\mathbf{6}}\right)^{\mathbf{2}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{85}}{\mathbf{36}}\)Bài toán này có các đường thẳng đặc biệt (như CA là đường nằm ngang) giúp việc tính toán nhanh hơn. Bạn có muốn tiếp tục giải các câu hỏi nâng cao hơn như tìm tọa độ trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, hoặc tính diện tích của tam giác ABC này không?
a: A(-3;5); B(1;-3)
=>\(\overrightarrow{AB}=\left(1+3;-3-5\right)=\left(4;-8\right)=\left(1;-2\right)\)
=>Vecto pháp tuyến là (2;1)
Phương trình đường thẳng AB là:
2(x+3)+1(y-5)=0
=>2x+6+y-5=0
=>2x+y+1=0
A(-3;5); C(2;-2)
=>\(\overrightarrow{AC}=\left(2+3;-2-5\right)=\left(5;-7\right)\)
=>Vecto pháp tuyến là (7;5)
Phương trình đường thẳng AC là:
7(x+3)+5(y-5)=0
=>7x+21+5y-25=0
=>7x+5y-4=0
B(1;-3); C(2;-2)
=>\(\overrightarrow{BC}=\left(2-1;-2+3\right)=\left(1;1\right)\)
=>vecto pháp tuyến là (-1;1)
Phương trình đường thẳng BC là:
-1(x-1)+1(y+3)=0
=>-x+1+y+3=0
=>-x+y+4=0
=>x-y-4=0
b: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và song song với BC
(d)//BC
=>(d): x-y+c=0
Thay x=3 và y=-5 vào (d), ta được:
3-(-5)+c=0
=>3+5+c=0
=>c+8=0
=>c=-8
=>(d): x-y-8=0
c: Tọa độ M là:
\(\begin{cases}x_{M}=\frac{x_{B}+x_{C}}{2}=\frac{1+2}{2}=\frac32=1,5\\ y_{M}=\frac{y_{B}+y_{C}}{2}=\frac{-3+\left(-2\right)}{2}=-\frac52=-2,5\end{cases}\)
=>M(1,5;-2,5)
A(3;-5); M(1,5;-2,5)
\(\overrightarrow{AM}=\left(1,5-3;-2,5+5\right)=\left(-1,5;2,5\right)=\left(-3;5\right)\)
=>Vecto pháp tuyến là (5;3)
Phương trình đường thẳng AM là:
5(x-3)+3(y+5)=0
=>5x-15+3y+15=0
=>5x+3y=0
\(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\)
=>Phương trình đường cao AH sẽ đi qua A và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường cao AH là:
1(x-3)+1(y+5)=0
=>x-3+y+5=0
=>x+y+2=0
d: M(1,5;-2,5); \(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\)
=>Phương trình đường trung trực của BC sẽ đi qua M(1,5;-2,5) và nhận \(\overrightarrow{BC}=\left(1;1\right)\) làm vecto pháp tuyến
Phương trình đường trung trực của BClà:
1(x-1,5)+1(y+2,5)=0
=>x-1,5+y+2,5=0
=>x+y+1=0
d/ Trung trực của BC đi qua \(M\left(2;1\right)\) và vuông góc BC nên nhận (3;1) là 1 vtcp
Phương trình trung trực BC:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=2+3t\\y=1+t\end{matrix}\right.\)
c/ Gọi M là trung điểm BC \(\Leftrightarrow M\left(2;1\right)\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\left(4;0\right)=4\left(1;0\right)\)
Đường thẳng AM qua A và nhận (1;0) là 1 vtcp có pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+t\\y=1\end{matrix}\right.\)
Do AH vuông góc BC nên AH nhận \(\left(3;1\right)\) là 1 vtcp
Phương trình AH: \(\left\{{}\begin{matrix}x=-2+3t\\y=1+t\end{matrix}\right.\)
d/ Gọi G là trọng tâm tam giác \(\Rightarrow G\left(\frac{2}{3};1\right)\)
Đường thẳng vuông góc AC nên nhận (3;5) là 1 vtcp
Phương trình tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{2}{3}+3t\\y=1+5t\end{matrix}\right.\)
ta có tọa độ B là nghiệm của hệ \(\hept{\begin{cases}x-2=0\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow B\left(2;-1\right)}\)
Từ I kẻ d' qua I và song song với BC khi đó \(d':x=-7\)
Khi đó d' cắt AC tại điểm K có tọa độ là \(\hept{\begin{cases}x=-7\\2x+3y=1\end{cases}\Leftrightarrow}K\left(-7;5\right)\), gọi H là trung điểm của BC
khi đó điểm A thuộc trung trực của KI là đường thẳng AH: \(y=1\)Do đó tọa độ A là : \(A\left(-1;1\right)\)
Do đó đường cao từ C có VTPT \(IA=\left(6,4\right)\)nên đường cao từ C là : \(3x+2y-4=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+3y-1}=X\\\frac{1}{2x-y+3}=Y\end{matrix}\right.\)
Hệ phương trình trở thành:
\(\left\{{}\begin{matrix}2X-Y=5\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4X-2Y=10\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5X=15\\X+2Y=5\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}X=3\\Y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x+3y-1}=3\\\frac{1}{2x-y+3}=1\end{matrix}\right.\) (nhân chéo) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y-1=\frac{1}{3}\\2x-y+3=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\2x-y=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\6x-3y=-6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\frac{4}{3}\\7x=-\frac{14}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\frac{2}{3}\\y=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
Vậy nghiệm của hệ là \(\left(x;y\right)=\left(-\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)\)