Đặt \(A=\frac{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{199.200}}{\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}}\)

Tử số của A = \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{199.200}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)

\(=\left(1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{199}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{200}\)

\(\Rightarrow A=1\left(đpcm\right)\)

1) Tính C

\(C=\frac{1}{2!}+\frac{2}{3!}+\frac{3}{4!}+....+\frac{n-1}{n!}\)

\(=\frac{2-1}{2!}+\frac{3-1}{3!}+\frac{4-1}{4!}+...+\frac{n-1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)!}-\frac{1}{n!}\)

\(=1-\frac{1}{n!}\)

3) a) Ta có : \(P=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}-\frac{1}{200}\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{200}\right)\)

\(=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-...-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+....+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\left(đpcm\right)\)

Bài 2:     

a) 2(5x -8) –( x² +10x) = -17

=>  10x - 16 – x² - 10x = -17

=>  - 16 – x²  = -17

=>    x²  =  - 16 +17

=>  x²   = 1 

=>     \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=1\end{cases}}\)

 b)  x²  -3x - 4 = 0

=>    x²  - 4x + x - 4 = 0

=>   ( x²  - 4x ) + ( x - 4 ) = 0

=>   x ( x  - 4 ) + ( x - 4 ) = 0

=>( x  - 4 )( x + 1 ) = 0

=>  \(\orbr{\begin{cases}x-4=0\\x+1=0\end{cases}}\)        

=>  \(\orbr{\begin{cases}x=4\\x=-1\end{cases}}\)        

c)     x(2x -1) + 2 x² = 3

=>     2x²  - x  + 2 x² = 3

=>     4x²  - x  - 3 = 0

=>  4x²  - 4x  +3x  - 3 = 0

=> ( 4x²  - 4x ) + ( 3x  - 3 ) = 0

=>   4x( x - 1 ) + 3( x  - 1 ) = 0

=> ( x - 1 )( 4x + 3) = 0

=>  \(\orbr{\begin{cases}x-1=0\\4x+3=0\end{cases}}\)

=> \(\orbr{\begin{cases}x=1\\x=-\frac{3}{4}\end{cases}}\)         

Bài 4:

Ta có:

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{8}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{8}=\dfrac{2a}{4}=\dfrac{2b}{12}=\dfrac{2a+2b+c}{24}\)

\(\Leftrightarrow2a+2b+c=\dfrac{24b}{6}=4b\) (1)

Áp dụng thêm một lần, ta có:

\(\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{6}=\dfrac{c}{8}=\dfrac{2a}{4}=\dfrac{2a-b+c}{6}\)

\(\Leftrightarrow2a-b+c=\dfrac{6b}{6}=b\) (2)

Từ (1) và (2), ta có:

\(\dfrac{2a+2b+c}{2a-b+c}=\dfrac{4b}{b}=4\)

Vậy ...

Câu 1 :

\(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b}{ab}-\dfrac{a}{ab}=\dfrac{\left(b-a\right)}{ab}=\dfrac{1}{a-b}\)

Từ đó suy ra : (b-a)(a-b)=ab <=> \(-a^2-b^2+2ab=-\left(a-b\right)^2\)=ab

Mà a,b là số dương nên ab >0 , \(\left(a-b\right)^2>0\) nên \(-\left(a-b\right)^2< 0\)

( không thỏa mãn)

Vậy không có bất kì a,b nguyên dương nào mà \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{a-b}\)

\(Q=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

\(Q=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}\)

gọi d là UCLN của n,(n+1) ta có:

\(\hept{\begin{cases}n⋮d\\n+1⋮d\end{cases}\Rightarrow n+1-n⋮d\Rightarrow d=1}\)

=> Q là p/s tối giãn mà n khác 0 => Q ko thuộc Z

Ta có: \(M=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+.....+\frac{1}{37.38}\)

        \(\Rightarrow M=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{37}-\frac{1}{38}\)

        \(\Rightarrow M=1-\frac{1}{38}=\frac{37}{38}\)

Tương tự:

=> M/N = ..

Ta có: \(M=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{37.38}\)

          \(\Rightarrow M=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{37}-\frac{1}{38}\)

          \(\Rightarrow M=1-\frac{1}{38}=\frac{37}{38}\)

Câu tiếp bạn làm tương tự nhé

Và r \(\frac{M}{N}=\)...