a:

ĐKXĐ: x<>-2

\(y=\frac{2x-3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x-3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'\(=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)}{\left(x+2\right)^2}=\frac{2x+4-2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{7}{\left(x+2\right)^2}>0\)

=>Hàm số luôn đồng biến trên mọi khoảng xác định

Vẽ đồ thị:

b:

ĐKXĐ: x<>-2

TH1: x>=3/2 hoặc x<-2

=>\(\frac{2x-3}{x+2}\ge0\)

=>\(y=\left|\frac{2x-3}{x+2}\right|=\frac{2x-3}{x+2}\)

\(y=\frac{2x-3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x-3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'\(=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)}{\left(x+2\right)^2}=\frac{2x+4-2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{7}{\left(x+2\right)^2}>0\)

=>Hàm số luôn đồng biến trên (-∞;-2); [3/2;+∞)

TH2: -2<x<3/2

=>\(\frac{2x-3}{x+2}<0\)

=>\(y=\left|\frac{2x-3}{x+2}\right|=\frac{-2x+3}{x+2}\)

\(y=\frac{-2x+3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(-2x+3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(-2x+3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'=\(\frac{-2\left(x+2\right)+2x-3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{-7}{\left(x+2\right)^2}<0\)

=>Hàm số nghịch biến trên (-2;3/2)

Vẽ đồ thị:

c: TH1: x>-2

=>x+2>0

=>\(y=\frac{2x-3}{\left|x+2\right|}=\frac{2x-3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(2x-3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'\(=\frac{2\left(x+2\right)-\left(2x-3\right)}{\left(x+2\right)^2}=\frac{2x+4-2x+3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{7}{\left(x+2\right)^2}>0\)

=>Hàm số luôn đồng biến trên (-2;+∞)

TH2: x<-2

=>x+2<0

=>\(y=\frac{2x-3}{\left|x+2\right|}=\frac{-2x+3}{x+2}\)

\(y=\frac{-2x+3}{x+2}\)

=>y'=\(\frac{\left(-2x+3\right)^{\prime}\cdot\left(x+2\right)-\left(-2x+3\right)\left(x+2\right)^{\prime}}{\left(x+2\right)^2}\)

=>y'=\(\frac{-2\left(x+2\right)+2x-3}{\left(x+2\right)^2}=\frac{-7}{\left(x+2\right)^2}<0\)

=>Hàm số nghịch biến trên (-∞;-2)

Vẽ đồ thị:

a: \(y=x^4-2x^2+3\)

=>y'=\(4x^3-2\cdot2x=4x^3-4x=4x\left(x^2-1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(4x\left(x^2-1\right)>0\)

=>\(x\left(x^2-1\right)>0\)

TH1: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-1>0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x>0\\ x^2>1\end{cases}\)

=>x>0 và (x>1 hoặc x<-1)

=>x>1

TH2: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-1<0\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x<0\\ x^2<1\end{cases}\)

=>x<0 và -1<x<1

=>-1<x<0

Vậy: hàm số đồng biến trên các khoảng (-1;0); (1;+∞)

Đặt y'<0

=>\(4x\left(x^2-1\right)<0\)

=>\(x\left(x^2-1\right)<0\)

TH1: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-1<0\end{cases}\)

=>x>0 và -1<x<1

=>0<x<1

TH2: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-1>0\end{cases}\)

=>x<0 và (x>1 hoặc x<-1)

=>x<-1

vậy: hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;-1); (0;1)

Vẽ đồ thị:

b: Vẽ đồ thị:

Khi a = 3/2 thì

y' = 0 ⇔ x 2  + 6x + 5 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = -5.

Đồ thị như trên Hình 1.18

Vì

nên từ đồ thị (C) ta suy ngay ra đồ thị của hàm số

như trên Hình 1.19

y = - x + 2 x + 2

    +) Tập xác định: D = R\{-2}

    +) Ta có: 

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (− ∞ ; −2), (−2; + ∞ )

    +) Tiệm cận đứng x = -2 vì

Tiệm cận ngang y = -1 vì

Giao với các trục tọa độ: (0; 1); (2; 0)

Đồ thị

Với m = 2 ta có hàm số 

- Tập xác định : D = R\{-1}.

- Sự biến thiên :

⇒ Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞).

+ Cực trị : hàm số không có cực trị

+ Tiệm cận :

⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

⇒ x = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+ Bảng biến thiên :

- Đồ thị :

a: \(y=-\frac13x^3+\frac12x^2-2x+1\)

=>y'=\(-\frac13\cdot3x^2+\frac12\cdot2x-2=-x^2+x-2\)

=>y'=\(-x^2+x-\frac14-\frac74=-\left(x-\frac12\right)^2-\frac74<0\forall x\)

=>Hàm số nghịch biến trên R

Vẽ đồ thị:

b: \(y=-x^3+3x^2-4\)

=>y'=\(-3x^2+3\cdot2x=-3x^2+6x=-3x\left(x-2\right)\)

đặt y'>0

=>-3x(x-2)>0

=>x(x-2)<0

=>0<x<2

=>Hàm số đồng biến trên (0;2)

Đặt y'<0

=>-3x(x-2)<0

=>x(x-2)>0

=>x>2 hoặc x<0

=>Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;0); (2;+∞)

Vẽ đồ thị:

c: \(y=-\frac14x^4-\frac12\cdot x^2-\frac14\)

=>y'=\(-\frac14\cdot4x^3-\frac12\cdot2x=-x^3-x=-x\left(x^2+1\right)\)

Đặt y'>0

=>\(-x\left(x^2+1\right)>0\)

=>-x>0

=>x<0

=>Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞;0)

Đặt y'<0

=>\(-x\left(x^2+1\right)<0\)

=>-x<0

=>x>0

=>Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+∞)

Vẽ đồ thị:

d: \(y=x^4-x^2-2\)

=>y'=\(4x^3-2x=2x\left(2x^2-1\right)\)

\(=4x\left(x^2-\frac12\right)=4x\left(x-\frac{1}{\sqrt2}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt2}\right)\)

Đặt y'>0

=>\(x\left(x^2-\frac12\right)>0\)

TH1: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-\frac12>0\end{cases}\)

=>x>0 và \(x^2>\frac12\)

=>\(x>\frac{\sqrt2}{2}\)

TH2: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-\frac12<0\end{cases}\)

=>x<0 và \(x^2<\frac12\)

=>x<0 và \(-\frac{\sqrt2}{2}

=>\(-\frac{\sqrt2}{2}

vậy: Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left(\frac{\sqrt2}{2};+\infty\right);\left(-\frac{\sqrt2}{2};0\right)\)

Đặt y'<0

=>\(x\left(x^2-\frac12\right)<0\)

TH1: \(\begin{cases}x<0\\ x^2-\frac12>0\end{cases}\)

=>x<0 và \(x^2>\frac12\)

=>x<0 và \(\left[\begin{array}{l}x>\frac{\sqrt2}{2}\\ x<-\frac{\sqrt2}{2}\end{array}\right.\)

=>\(x<-\frac{\sqrt2}{2}\)

TH2: \(\begin{cases}x>0\\ x^2-\frac12<0\end{cases}\)

=>x>0 và \(x^2<\frac12\)

=>x>0 và \(-\frac{\sqrt2}{2}

=>\(0

Vậy: Hàm số nghịch biến trên \(\left(-\infty;\frac{-\sqrt2}{2}\right);\left(0;\frac{\sqrt2}{2}\right)\)

Vẽ đồ thị:

a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y=\dfrac{2x+1}{2x-1}\) và \(y=x+2\) là nghiệm của phương trình :

\(\dfrac{2x+1}{2x-1}=x+2\Leftrightarrow\dfrac{2x+1}{2x-1}-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{-2x^2-x+3}{2x-1}=0\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x^2-x+3=0\\x\ne\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\x=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Với \(x=1\) thì \(y=1+2=3;x=-\dfrac{3}{2}\) thì \(y=-\dfrac{3}{2}+2=\dfrac{1}{2}\)

Vậy tọa độ hai giao điểm là \(A\left(1;3\right),B\left(-\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)