Sửa đề: AB=4

Xét ΔABC có BM là đường trung tuyến

nên \(BM^2=\frac{BA^2+BC^2}{2}-\frac{AC^2}{4}\)

=>\(\frac{4^2+BC^2}{2}-\frac{6^2}{4}=3^2=9\)

=>\(\left(BC^2+16\right)\cdot\frac12=9+\frac{36}{4}=9+9=18\)

=>\(BC^2+16=18\cdot2=36\)

=>\(BC^2=36-16=20\)

=>\(BC=2\sqrt5\)

N là trung điểm của BC

=>\(BN=NC=\frac{BC}{2}=\sqrt5\)

ΔBNA vuông tại B

=>\(BA^2+BN^2=AN^2\)

=>\(AN^2=\left(\sqrt5\right)^2+4^2=5+16=21\)

=>\(AN=\sqrt{21}\)

Áp dụng công thức trung tuyến:

\(BM^2=\dfrac{2\left(AB^2+BC^2\right)-AC^2}{4}\Rightarrow AC^2=2\left(AB^2+BC^2\right)-4BM^2=16\)

\(\Rightarrow AC=4\)

Chọn D.

Gọi M là trung điểm của AC suy ra

 .

Do tam giác BAM vuông tại A

Áp dụng hệ thức đường trung tuyến m a 2 = b 2 + c 2 2 − a 2 4  ta được:

m a 2 = A C 2 + A B 2 2 − B C 2 4 = 12 2 + 9 2 2 − 15 2 4 = 225 4 .

⇒ m a = 15 2 .

Chọn A.

Chọn A.

Áp dụng hệ thức đường trung tuyến  ta được:

Suy ra : m_a= 7,5.

Xét ΔABC có \(m_{a}\) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ A

nên \(m_{a}=\sqrt{\frac{AB^2+AC^2}{2}-\frac{BC^2}{4}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}}\)

Xét ΔABC có \(m_{b}\) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ B

nên \(m_{b}=\sqrt{\frac{BA^2+BC^2}{2}-\frac{AC^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}}\)

Xét ΔABC có \(m_{c}\) là độ dài đường trung tuyến kẻ từ C

nên \(m_{c}=\sqrt{\frac{CA^2+CB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}}\)

Chọn D.

Cách 1: Áp dụng công thức đường trung tuyến  ta được:

Suy ra m_a = 5

Cách 2: nhận xét đây là tam giác vuông tại A nên m_a = 1/2. BC = 5.

a: ΔABC đều

=>AB=BC=AC=6cm và \(\hat{ABC}=\hat{ACB}=\hat{BAC}=60^0\)

Xét ΔABM có cos B=\(\frac{BA^2+BM^2-AM^2}{2\cdot BA\cdot BM}\)

=>\(\frac{6^2+2^2-AM^2}{2\cdot6\cdot2}=cos60=\frac12\)

=>\(40-AM^2=12\)

=>\(AM^2=40-12=28\)

=>\(AM=2\sqrt7\) (cm)

XétΔABM có cos BAM=\(\frac{AB^2+AM^2-BM^2}{2\cdot AB\cdot AM}\)

\(=\frac{6^2+28-2^2}{2\cdot6\cdot2\sqrt7}=\frac{36+28-4}{24\sqrt7}=\frac{60}{24\sqrt7}=\frac{5}{2\sqrt7}\)

b:

Gọi bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABM là \(R_1\)

Xét ΔABM có \(\frac{AM}{\sin B}=2R_1\)

=>\(2R_1=\frac{2\sqrt7}{\sin60}=2\sqrt7:\frac{\sqrt3}{2}=\frac{4\sqrt7}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt{21}}{3}\)

=>\(R_1=\frac{2\sqrt{21}}{3}\) (cm)

d: \(S_{ABM}=\frac12\cdot BA\cdot BM\cdot\sin ABM\)

\(=\frac12\cdot6\cdot2\cdot\sin60=6\cdot\frac{\sqrt3}{2}=3\sqrt3\left(\operatorname{cm}^2\right)\)