a: Xét ΔOAE vuông tại A và ΔOCE vuông tại C có

OE chung

OA=OC

Do đó: ΔOAE=ΔOCE

b: Xét ΔOCF vuông tại C và ΔOBF vuông tại B có

OF chung

OC=OB

Do đó: ΔOCF=ΔOBF

=>\(\hat{COF}=\hat{BOF}\)

=>OF là phân giác của góc COB

=>\(\hat{COB}=2\cdot\hat{COF}\)

ΔEAO=ΔECO

=>\(\hat{EOA}=\hat{EOC}\)

=>OE là phân giác của góc AOC

=>\(\hat{AOC}=2\cdot\hat{EOC}\)

Ta có: \(\hat{AOC}+\hat{COB}=180^0\) (hai góc kề bù)

=>\(2\left(\hat{COF}+\hat{COE}\right)=180^0\)

=>\(2\cdot\hat{FOE}=180^0\)

=>\(\hat{FOE}=\frac{180^0}{2}=90^0\)

c: ΔEAO=ΔECO

=>EA=EC

ΔFCO=ΔFBO

=>FC=FB

Xét ΔOEF vuông tại O có OC là đường cao

nên \(CE\cdot CF=OC^2\)

=>\(AE\cdot BF=OC^2=R^2\)

d: Xét ΔKEA và ΔKBF có

\(\hat{KEA}=\hat{KBF}\) (hai góc so le trong, EA//BF)

\(\hat{EKA}=\hat{BKF}\) (hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔKEA~ΔKBF

=>\(\frac{KE}{KB}=\frac{KA}{KF}=\frac{EA}{BF}=\frac{EC}{CF}\)

Xét ΔEFB có \(\frac{EC}{CF}=\frac{EK}{KB}\)

nên CK//FB

mà FB⊥BA

nên CK⊥BA tại H

Gọi M là giao điểm của BC và AE

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

=>AC⊥BC tại C

=>AC⊥CM tại C

Ta có: \(\hat{EAC}+\hat{EMC}=90^0\) (ΔACM vuông tại C)

\(\hat{ECA}+\hat{ECM}=\hat{ACM}=90^0\)

mà \(\hat{EAC}=\hat{ECA}\) (ΔEAC cân tại E)

nên \(\hat{EMC}=\hat{ECM}\)

=>EM=EC

mà EA=EC

nên EA=EM(1)

Xét ΔBEA có HK//AE
nên \(\frac{HK}{AE}=\frac{BK}{BE}\left(2\right)\)

Xét ΔBME có CK//ME

nên \(\frac{CK}{ME}=\frac{BK}{BE}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra KC=KH

=>K là trung điểm của CH

c) BM cắt Ax tại E.BC cắt MH tại I

Vì AB là đường kính nên \(\angle AMB=90\)

Vì CM,CA là tiếp tuyến nên \(CM=CA\)

Ta có tam giác AME vuông tại M có \(CM=CA\Rightarrow C\) là trung điểm AE

Vì \(MH\parallel AE(\bot AB)\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{BI}{BC}\\\dfrac{IM}{CE}=\dfrac{BI}{BC}\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{IH}{AC}=\dfrac{IM}{CE}\)

mà \(AC=CE\Rightarrow IH=IM\) nên ta có đpcm

a: Xét (O) có

OM là bán kính

EF vuông góc OM tại M

Do đó: EF là tiếp tuyến của (O)

b: Xét (O) có

EM.EA là tiếp tuyến

nên EM=EA
Xét(O) có

FM,FB là tiếp tuyến

nên FM=FB

EF=EM+MF

=>EF=EA+FB

Kẻ OI $\perp$ AB ( I $\in$ CD) ta suy ra OI là đường trung bình của hình thang ABCD và CI = ID.

Khi đó I là tâm đường tròn đường kính CD và IO là khoảng cách d từ tâm I đến AB.

Ta có IO=CA+DB2 =MC+MD2 =DC2  là bán kính của đường tròn (I).

Do đó AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.

Kẻ OI $\perp$ AB ( I $\in$ CD) ta suy ra OI là đường trung bình của hình thang ABCD và CI = ID.

Khi đó I là tâm đường tròn đường kính CD và IO là khoảng cách d từ tâm I đến AB.

Ta có IO=\dfrac{CA+DB}{2}=\dfrac{MC+MD}{2}=\dfrac{DC}{2}IO=2CA+DB​=2MC+MD​=2DC​ là bán kính của đường tròn (I).

Do đó AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.

a: góc EAO+góc EMO=180 độ

=>EAOM nội tiếp

b: góc AMB=1/2*sđ cung AB=90 độ

Xét (O) co

EM,EA là tiếptuyến

=>EM=EA

mà OM=OA

nên OE là trung trực của AM

=>OE vuông góc AM tại P

Xét (O) có

FM,FB là tiếptuyến

=>FM=FB

=>OF là trung trực của MB

=>OF vuông góc MB tại Q

góc MPO=góc MQO=góc PMQ=90 độ

=>MPOQ là hình chữ nhật

Theo tính chất tiếp tuyến, ta có:

Ax ⊥ AB

By ⊥ AB

Suy ra: Ax // By hay AC // BD

Suy ra tứ giác ABDC là hình thang

Gọi I là trung điểm của CD

Khi đó OI là đường trung bình của hình thang ABDC

Suy ra: OI // AC ⇒ OI ⊥ AB

Suy ra: IC = ID = IO = (1/2).CD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra I là tâm đường tròn đường kính CD. Khi đó O nằm trên đường tròn tâm I đường kính CD và IO vuông góc với AB tại O.

Vậy đường tròn có đường kính CD tiếp xúc với AB tại O.