a) 8⁵ < 3x4⁷                                                                                         b) 2009²⁰¹⁰ + 2009²⁰⁰⁹ > 2010²⁰¹⁰

= 7²⁰⁰⁹ ( 7 - 1) / 7²⁰⁰⁹

= 7 -1

=6

~~~

~~~~~~~

~~~~~~~~~

~~~~~~~~~~~

S = 7^2013 - 7^2012 + 7^2011 - 7^2010+...- 7^2 + 7^1

Xét dãy số: 1; 2; ...; 2010; 2011; 2012; 2013

Dãy số trên có số số hạng là: (2013 - 1) : 1 + 1 = 2013

Vì 2013 : 2 = 1006 dư 1 nên nhóm hai hạng tử liền kề của S vào nhau khi đó:

S = (7^2013 - 7^2012) + ..+(7^3 - 7^2) + 7^1

S = 7^2012.(7 - 1) + ... +7^2.(7 - 1) + 7^1

S = 7^2012. 6 +...+=7^2.6 + 7^1

S = 6.(7^2012 +...+7^2) + 7

Vì 6 chia hết cho 3 nhưng 7 không chia hết cho 3 nên

S không chia hết cho 3

Vậy việc chứng minh S chia hết cho 3 là không thể.

S = 7^2013 - 7^2012 + 7^2011 - 7^2010+...- 7^2 + 7^1

Xét dãy số: 1; 2; ...; 2010; 2011; 2012; 2013

Dãy số trên có số số hạng là: (2013 - 1) : 1 + 1 = 2013

Vì 2013 : 2 = 1006 dư 1 nên nhóm hai hạng tử liền kề của S vào nhau khi đó:

S = (7^2013 - 7^2012) + ..+(7^3 - 7^2) + 7^1

S = 7^2012.(7 - 1) + ... +7^2.(7 - 1) + 7^1

S = 7^2012. 6 +...+=7^2.6 + 7^1

S = 6.(7^2012 +...+7^2) + 7

Vì 6 chia hết cho 3 nhưng 7 không chia hết cho 3 nên

S không chia hết cho 3

Vậy việc chứng minh S chia hết cho 3 là không thể.

S = 7^2013 - 7^2012 + 7^2011 - 7^2010+...- 7^2 + 7^1

Xét dãy số: 1; 2; ...; 2010; 2011; 2012; 2013

Dãy số trên có số số hạng là: (2013 - 1) : 1 + 1 = 2013

Vì 2013 : 2 = 1006 dư 1 nên nhóm hai hạng tử liền kề của S vào nhau khi đó:

S = (7^2013 - 7^2012) + ..+(7^3 - 7^2) + 7^1

S = 7^2012.(7 - 1) + ... +7^2.(7 - 1) + 7^1

S = 7^2012. 6 +...+=7^2.6 + 7^1

S = 6.(7^2012 +...+7^2) + 7

Vì 6 chia hết cho 3 nhưng 7 không chia hết cho 3 nên

S không chia hết cho 3

Vậy việc chứng minh S chia hết cho 3 là không thể.

Ta có:

+/ 3²⁰⁰⁹=3.3²⁰⁰⁸=3.(3⁴)⁵⁰²=3.81⁵⁰² => Có số tận cùng là: 3.(..1) = 3

+/ 7²⁰¹⁰=7².7²⁰⁰⁸=49.(7⁴)⁵⁰²=49.2401⁵⁰² => Có số tận cùng là: 9.(..1) = 9

+/ 13²⁰¹¹=13³.13²⁰⁰⁸=2197.(13⁴)⁵⁰²=2197.28561⁵⁰² => Có số tận cùng là: 7.(..1) = 7

=> 3²⁰⁰⁹.7²⁰¹⁰.13²⁰¹¹ Có số tận cùng là: (...3).(...9).(...7)=...9

Đáp số: Số tận cùng của tích là 9