Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng AM - GM
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow P\ge9\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c\))
Phá ngoặc ra ông giáo ạ:3
\(P=\frac{a+b+c}{a}+\frac{a+b+c}{b}+\frac{a+b+c}{c}\)
\(=3+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}\)
\(\ge3+3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}}\) ( hồn nhiên cô si )
\(\ge3+3\sqrt[3]{\frac{8abc}{abc}}=9\) ( hồn nhiên cô si tiếp )
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c
Kiểm tra mà bạn vẫn có thời gian đưa câu hỏi ư! Bái phục mà thi j vậy bn?
a)
$A=\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}$
$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(b^2+1)+b(c^2+1)+c(a^2+1)}\qquad (\text{Cauchy Engel})$
$=\dfrac{1}{ab^2+bc^2+ca^2+1}$
$\ge \dfrac{1}{ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+1}$
$=\dfrac{1}{(a+b+c)(ab+bc+ca)+1}
$\ge \dfrac{1}{\frac13+1}$ $=\dfrac34$
Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac13$.
$\boxed{A_{\min}=\dfrac34}$
b)
$B=\dfrac{a}{ab+2c}+\dfrac{b}{bc+2a}+\dfrac{c}{ca+2b}$
$\ge \dfrac{(a+b+c)^2}{a(ab+2c)+b(bc+2a)+c(ca+2b)}$
$=\dfrac4{a^2b+b^2c+c^2a+2(ab+bc+ca)}$
Lại có $a^2b+b^2c+c^2a\le (a+b+c)(ab+bc+ca)$$=2(ab+bc+ca)$
Nên $B\ge \dfrac4{4(ab+bc+ca)}$$=\dfrac1{ab+bc+ca}$
$\ge \dfrac1{\frac{(a+b+c)^2}{3}}$ $=\dfrac34$
Dấu bằng khi $a=b=c=\dfrac23$.
$B_{\min}=\dfrac34$
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
\(\hept{\begin{cases}a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}\)
\(\Rightarrow P\ge9\)
Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy ..
ko biết đúng ko
Câu hỏi của •Čáøツ - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo 3 cách nhé!
a, \(P=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Áp dụng bdt Cô-si ta có: \(P\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
b, Đặt \(t=\frac{1}{2004y}\)\(\Rightarrow t=\frac{\left(x+2004\right)^2}{2004x}\)
\(=\frac{x^2+2.2004x+2004^2}{2004x}\)
\(=\frac{x}{2004}+2+\frac{2004}{x}\)
Áp dụng bdt Cô-si ta có: \(t=\frac{1}{2004y}\ge2+2=4\)
Dấu "=" xảy ra khi x = 2004
\(\Rightarrow y\le\frac{1}{2004.4}=\frac{1}{8016}\)
Vậy GTLN của y = 1/8016 khi x = 2004
\(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=1+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+1+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+1\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
Mặt khác \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall xy>0\)
\(\Rightarrow\frac{P}{3+2+2+2}=9\)
Vậy Pmin=9 khi a=b=c
Cô si thẳng luôn cho nó chất:v
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Min=9
dấu = xảy ra khi a=b=c=1
???????????????????????????
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
=>\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\sqrt[3]{abc\cdot\frac{1}{abc}}\)
\(\ge9\)
=>GTNN=9
Ta có: \(P=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
Áp dụng BĐT \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\forall x,y\ne0\)
\(\Rightarrow P\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)