1. Cho \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\).Chứng minh rằng \(A< \frac{3}{4}\)

2. Cho \(A=\frac{50}{111}+\frac{50}{112}+\frac{50}{113}+\frac{50}{114}\). Chứng tỏ \(1< A< 2\)

3.a) Cho các số nguyên dương \(x\)và \(y\).Biết rằng \(x\)và\(y\)là 2 số nguyên tố cùng nhau:

Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b}=\frac{x.\left(2017.x+y\right)}{2018.x+y}\)là phân số tối giản 

b) Cho A =\(\frac{2018^{100}+2018^{96}+...+2018^4+1}{2018^{102}+2018^{100}+...+2018^2+1}\). Chứng minh rằng \(4.A< \left(0,1\right)^6\)

4. Cho \(A=\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+...+\frac{1}{81}+\frac{1}{100}\). Chứng tỏ rằng \(A>\frac{65}{132}\)

5.Chứng minh rằng \(A=\frac{100^{2016}+8}{9}\)là số tự nhiên 

6. Chứng tỏ rằng phân số có dạng \(\frac{3a+4}{2a+3}\)là phân số tối giản

7. Tìm \(x\inℤ\)sao cho \(x-5\)là bội của \(x+2\)

8.Cho \(a,b,c,d\inℕ^∗\)thỏa mãn \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\). Chứng minh rằng \(\frac{2018.a+c}{2018.b+d}< \frac{c}{d}\)

9.Cho S=\(\frac{5}{2^2}+\frac{5}{3^2}+\frac{5}{4^2}+...+\frac{5}{100^2}\). Chứng tỏ rằng \(2< S< 5\)

10. Cho 2018 số tự nhiên là \(a1;a2;...;a2018\)đều là các số lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a1^2}+\frac{1}{a2^2}+\frac{1}{a3^2}+...+\frac{1}{a2018^2}=1\). Chứng minh rằng trong 2018 số này ít nhất sẽ có 2 số bằng nhau

a) \(Cho\)\(S=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+\frac{1}{33}+.....+\frac{1}{60}\)

\(Chứng\) \(minh\) \(\frac{3}{5}< S< \frac{4}{5}\)

b) \(Chứng\)\(minh\)\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+\frac{1}{43}+.....+\frac{1}{100}>\frac{7}{10}\)

c) \(Chứng\)\(minh\)\(\frac{3}{10}+\frac{3}{11}+\frac{3}{12}+\frac{3}{13}+\frac{3}{14}\) không là số tự nhiên

d) \(Chứng\)\(minh\)\(\frac{1}{5}< D< \frac{1}{10}\) \(với\)\(D=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}.....\frac{99}{100}\)

Bài 1: Tính nhanh giá trị biểu thức sau:

 A = \(\frac{3}{4}\). \(\frac{8}{9}\). \(\frac{15}{16}\). ... . \(\frac{2499}{2500}\)

B = \(\frac{2^2}{1.3}\).\(\frac{3^2}{2.4}\).\(\frac{4^2}{3.5}\)... \(\frac{50^2}{49.51}\)

Bài 2: So sánh các phân số sau:

a. S = \(\frac{1}{11}\)+\(\frac{1}{12}\)+\(\frac{1}{13}\)+...+\(\frac{1}{20}\) và \(\frac{1}{2}\)

b. B = \(\frac{2015}{2016}\)+\(\frac{2016}{2017}\) và C = \(\frac{2015+2016}{2016+2017}\)

c. (\(\frac{-1}{5}\))^9 và (\(\frac{-1}{25}\))^5

d. \(\frac{1}{3^2}\)+ \(\frac{1}{4^2}\) + \(\frac{1}{5^2}\)+ \(\frac{1}{6^2}\)+ và \(\frac{1}{2}\)

Bài 3: 

a. Cho A = \(\frac{1}{201}+\frac{1}{202}\)\(+\frac{1}{203}+...+\frac{1}{309}+\frac{1}{400}\). Chứng tỏ rằng \(\frac{1}{2}< A< 1\)

b. Cho B = \(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+...\frac{1}{16}+\frac{1}{17}\). Chứng tỏ rằng: 1<B<2