Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Do $a$ chia $25$ dư $16$ nên $a=25k+16$ với $k$ nguyên.
$a-8\vdots 17$
$\Rightarrow 25k+8\vdots 17$
$\Rightarrow 25k+25\vdots 17$
$\Rightarrow 25(k+1)\vdots 17$
$\Rightarrow k+1\vdots 17\Rightarrow k=17m-1$ với $m$ nguyên.
Vậy $a=25k+16=25(17m-1)+16=425m-9$
Do $a$ có 3 chữ số nên $100\leq 425m-9\leq 999$
$\Rightarrow 0< m<3$
$\Rightarrow m=1, 2$
$\Rightarrow a=416$ hoặc $a=841$
Bài 1:
A = 4 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^24
Xét dãy số: 1; 2; 3;...; 24
Dãy số trên có 24 số hạng vì 24 : 2 = 12 nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được:
A = (4+ 4^2) + (4^3 + 4^4) + ...+ (4^23 + 4^24)
A = (4+ 4^2) + 4^2.(4 + 4^2) + .. + 4^22.(4 + 4^2)
A = (4+ 4^2).(4^2 + ...+ 4^22)
A = (4+ 16).(4^2+ ..+ 4^22)
A = 20.(4^2 +..+ 4^22) ⋮ 20(đpcm)
A = 4 + 4^2 + ..+ 4^24
Vì 24 : 3 = 8 nên nhóm ba số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được:
A = (4 + 4^2 + 4^3) + (4^4+ 4^5+ 4^6)+ ..+(4^22 + 4^23 + 4^24)
A = 4.(1+4+4^2) + 4^4.(1+ 4 + 4^2) + ..+4^22.(1 + 4 + 4^2)
A = (1 + 4 + 4^2).(4 + 4^4 + ..+ 4^22)
A = 21.(4+ 4^4 + ..+ 4^22) ⋮ 21(đpcm)
A ⋮ 20; A ⋮ 21
20 = 2^2.5; 21 = 3.7
BCNN(20; 21) = 2^2.3.5.7 = 420
A ∈ BC(20;21) ⇒ A ∈ B(420) ⇒ A ⋮ 420 (đpcm)
Bài 2
n = 29k
n là số nguyên tố khi và chỉ khi k = 1
n là hợp số khi và chi khi k ≠ 1; k ∈ N
n không phải là hợp số cũng phải là số nguyên tố khi và chỉ khi
n = 0
29k = 0
k = 0
2.Gọi UCLN của 7n+10 và 5n+7 là d 7n+10 chia hết cho d
=> 5(7n+10) chia hết cho d hay 35n+50 chia hết cho d 5n+7 chia hết cho d
=> 7(5n+7) chia hết cho d
hay 35n+49 chia hết cho d
(35n+50)-(35n+49) chia hết cho d
35n+50-35n-49 chia hết cho d
(35n-35n)+(50-49) chia hết cho d
0+1 chia hết cho d 1
chia hết cho d => d=1
Vì UCLN của 7n+10 và 5n+7 =1 =>7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau
5.Gọi a là số tự nhiên cần tìm (99 < a < 1000)
Ta có a chia 25 dư 5 => a + 20 chia hết cho 25
a chia 28 dư 8 => a + 20 chia hết cho 28
a chia 35 dư 15 => a + 20 chia hết cho 35
=> a + 20 thuộc BC(25;28;35) = B(700) = {0;700;1400;...}
Mà 119 < (a + 20) < 1020
Nên a + 20 = 700
=> a = 680
Vậy số tự nhiên cần tìm là 680
Ta có:
\(7n+10=(5n+7)+2n+3\)
Xét ước chung \(d\) của \(7n+10\) và \(5n+7\).
Suy ra \(d\) cũng chia hết cho:
\(5(7n+10)-7(5n+7)=1\)
Vậy \(ƯCLN(7n+10,5n+7)=1\).
Do đó \(7n+10\) và \(5n+7\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Gọi số tự nhiên có ba chữ số cần tìm là \(n\)
Ta có:
\(n:17\left(R=8\right)\Rightarrow\left(n+9\right)⋮17\)
\(n:25\left(R=16\right)\Rightarrow\left(n+9\right)⋮25\)
\(\Rightarrow\left(n+9\right)⋮\left(17;25\right)\Leftrightarrow\left(n+9\right)=BCNN\left(17,25\right)\Leftrightarrow\left(n+9\right)=425\)
\(\Rightarrow n+9=425\)
\(\Rightarrow n=416\)
Gọi số tự nhiên cần tìm đó là x ; \(x\in N\)
Ta có : \(x-8⋮17\); \(x-16⋮25\)và \(100< x< 1000\)
\(\Rightarrow x+9⋮17\)và \(x+9⋮25\) \(\Rightarrow x+9\in BC\left(17,25\right)\)và \(100< x< 1000\)
\(BCNN\left(17,25\right)=425\)và \(BC\left(17,25\right)=\left\{0;425;850;....\right\}\)
Với \(x+9=425\Rightarrow x=425-9=416\)
Với \(x+9=850\Rightarrow x=850-9=841\)
\(\Rightarrow\)số tự nhiên có 3 chữ số cần tìm là 416 và 841
Gọi số cần tìm là a ( a ∈ N* ; 99 < a < 1000 )
Theo bài ra , ta có :
\(\hept{\begin{cases}a-8⋮17\\a-16⋮25\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-8\right)+17⋮17\\\left(a-16\right)+25⋮25\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+9⋮17\\a+9⋮25\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a-9∈BC\left(17,25\right)\)
Vì 17 và 25 nguyên tố cùng nhau
=> BCNN( 17 . 25 ) = 17 . 25 = 425
=> BC( 17 , 25 ) = { 0 ; 425 ; 850 ; 1275 ; ... }
=> a + 9 ∈ { 0 ; 425 ; 850 ; 1275 ; ... }
=> a ∈ { 416 ; 841 ; 1266 ; ... } ( do a ∈ N* )
Mà 99 < a < 1000
=> a ∈ { 416 ; 841 }
a) Hai số lẻ liên tiếp
Gọi hai số lẻ liên tiếp là \(2n+1\) và \(2n+3\) (\(n\in\mathbb{N}\)).
Gọi \(d\) là ước chung của hai số đó.
Ta có: \(d\mid (2n+1)\) và \(d\mid (2n+3)\).
Suy ra \(d\mid [(2n+3)-(2n+1)]\).
Hay \(d\mid 2\).
Vì \(2n+1\) là số lẻ nên \(d\) là số lẻ.
Mà \(d\) là ước của \(2\) nên \(d=1\).
Vậy hai số lẻ liên tiếp nguyên tố cùng nhau.
b) \(2n+5\) và \(3n+7\) (\(n\) là số tự nhiên)
Gọi \(d\) là ước chung của \(2n+5\) và \(3n+7\).
Ta có: \(d\mid (2n+5)\) và \(d\mid (3n+7)\).
Suy ra \(d\mid [2(3n+7)-3(2n+5)]\).
Hay \(d\mid (6n+14-6n-15)\).
Suy ra \(d\mid (-1)\).
Vậy \(d=1\).
Do đó, \(2n+5\) và \(3n+7\) nguyên tố cùng nhau.
Gọi số nhỏ là \(a\).
Vì ƯCLN của hai số là \(45\) nên số nhỏ chia hết cho \(45\).
Do số lớn là \(270\), ta có \(a<270\).
Mặt khác, vì ƯCLN của \(a\) và \(270\) bằng \(45\) nên \(a\) có dạng \(a=45k\), với \(k\) là số tự nhiên.
Ta có:
\(270=45\times 6\).
Vì \(a<270\) nên \(k<6\).
Để ƯCLN của \(45k\) và \(270\) bằng \(45\), ta cần ƯCLN của \(k\) và \(6\) bằng \(1\).
Các giá trị \(k<6\) thỏa mãn là \(k=1;5\).
Suy ra \(a=45\) hoặc \(a=225\).
Vậy số nhỏ có thể là \(45\) hoặc \(225\).
Lưu ý: Bài toán có hai đáp án nếu chỉ cho biết ƯCLN bằng \(45\) và số lớn bằng \(270\).
Bg
a) Ta có: p, p + 4 là số nguyên tố (p > 3, p \(\inℕ^∗\))
=> p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (p không thể có dạng 3k vì p > 3)
Xét p có dạng 3k + 2:
=> p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 = 3k + 3.2 = 3.(k + 2) là hợp số (vô lý vì p + 4 là số nguyên tố)
Vậy p có dạng 3k + 1
=> p + 8 = 3k + 1 + 8 = 3k + 9 = 3k + 3.3 = 3.(k + 3) là hợp số
Vậy p + 8 là hợp số
b) Gọi số cần tìm là a (a \(\inℕ^∗\))
Theo đề bài: a chia 17 dư 8, a chia 25 dư 9, a có 3 chữ số và a nhỏ nhất
=> a - 8 \(⋮\)17 và a - 9 \(⋮\)25
=> a - 8 + 17 \(⋮\)17 và a - 9 + 25 \(⋮\)25
=> a + 9 \(⋮\)17; 25
=> a + 9 \(\in\)BC (17; 25)
Vì ƯCLN (17; 25) = 1
Nên BCNN (17; 25) = 17.25 = 425
=> BC (17; 25) = B (425) = {0; 425; 850;...}
Mà a là số có 3 chữ số và a nhỏ nhất
Nên a + 9 = 425
=> a = 416
Vậy số cần tìm là 416