\(\overline{1abc}=9\overline{abc}\)

\(\Rightarrow1000+\overline{abc}=9\overline{abc}\)

\(\Rightarrow1000=8\overline{abc}\)

\(\Rightarrow\overline{abc}=125\)

Đường cao xuất phát từ đỉnh nào? Đỉnh A?

\(\overrightarrow{BC}=\left(4;-6\right)=2\left(2;-3\right)\)

Pt BC: \(3\left(x-1\right)+2\left(y+2\right)=0\Leftrightarrow3x+2y+1=0\)

Gọi AH là đường cao xuất phát từ A \(\Rightarrow AH\perp BC\)

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AH nhận \(\left(2;-3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình AH: \(2\left(x-3\right)-3\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow2x-3y-9=0\)

H là giao điểm AH và BC nên tọa độ là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y+1=0\\2x-3y-9=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow H\left(\frac{15}{13};-\frac{29}{13}\right)\)

2.

Gọi I là trung điểm EF \(\Rightarrow I\left(1;1\right)\)

\(\overrightarrow{EF}=\left(2;-4\right)=2\left(1;-2\right)\)

Trung trực EF vuông góc EF và qua I nên có pt:

\(1\left(x-1\right)-2\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow x-2y+1=0\)

M là giao điểm d và trung trực EF nên tọa độ là nghiệm:

\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y+1=0\\x-y+2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow M\left(-3;-1\right)\)

Trên tia đối của tia MA, lấy I sao cho MA=MI. Gọi H là giao điểm của AM và DE

Xét ΔMAB và ΔMIC có

MA=MI

\(\hat{AMB}=\hat{IMC}\) (hai góc đối đỉnh)

MB=MC

Do đó: ΔMAB=ΔMIC

=>\(\hat{MAB}=\hat{MIC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AB//IC

=>\(\hat{BAC}+\hat{ACI}=180^0\) (1)

Ta có: \(\hat{DAB}+\hat{DAE}+\hat{EAC}+\hat{BAC}=360^0\)

=>\(\hat{DAE}+\hat{BAC}=360^0-90^0-90^0=180^0\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{ACI}=\hat{EAD}\)

ΔMAB=ΔMIC

=>AB=IC

mà AB=AD

nên IC=AD

Xét ΔACI và ΔEAD có

AC=EA

\(\hat{ACI}=\hat{EAD}\)

CI=AD

Do đó: ΔACI=ΔEAD

=>\(\hat{CAI}=\hat{AED}\)

TA có: \(\hat{CAI}+\hat{CAE}+\hat{EAH}=180^0\)

=>\(\hat{AED}+\hat{EAH}=180^0-90^0=90^0\)

=>AM⊥DE tại H

Gọi ( O;R ) , ( I ;r ) lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, DEF 

Tam giác ABC ~ Tam giác DEF ( vì \(\widehat{ABC}=\widehat{DEF};\widehat{BAC}=\widehat{EDF}\)) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{DEF}\)

\(\widehat{ACB},\widehat{DEF}\)nhọn nên \(\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB};\widehat{DEF}=\frac{1}{2}\widehat{DIE}\)( hệ quả góc nội tiếp )

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{DIE}\)

     \(OA=OB\left(=R\right)\Rightarrow\Delta OAB\)cân tại O

    \(ID=IE\left(=r\right)\Rightarrow\Delta IDE\)cân tại I

Do đó Tam giác OAB ~ Tam giác IDE \(\Rightarrow\frac{OA}{ID}=\frac{AB}{DE}\Rightarrow\frac{R}{r}=\frac{3DE}{DE}\)

                                                           \(\Rightarrow R=3r\) ( đpcm)

Gọi ( O; R ), ( I; R ) lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, DEF

Tam giác ABC ~ Tam giác DEF ( vì \(\widehat{ABC}=\widehat{DEF;}\widehat{BAC}=\widehat{EDF}\)  ) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{DEF}\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{DEF}\)nhọn nên \(\widehat{ACB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB};\widehat{DEF}=\frac{1}{2}\widehat{DIE}\)(hệ quả góc nội tiếp )

\(\Rightarrow\widehat{AOB}=\widehat{DIE}\)

\(OA=OA\left(=R\right)\Rightarrow\Delta OAB\)cân tại O

Do đó Tam giác OAB ~ Tam giác IDE\(\Rightarrow\frac{OA}{ID}=\frac{AB}{DE}\Rightarrow\frac{R}{r}=\frac{3DE}{DE}\)

                                                       \(\Rightarrow R=3r\left(đpcm\right)\)

  Rất vui vì giúp đc bạn <3

Đáp án A

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔADE vuông tại A có

AB/AD=AC/AE

Do đó: ΔABC\(\sim\)ΔADE

b: \(BC=\sqrt{24^2+32^2}=40\)

\(DE=\sqrt{9^2+12^2}=15\)

c: Ta có: ΔABC\(\sim\)ΔADE

nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ADE}\)

mà hai góc này ở vị trí so le trong

nên BC//DE

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{GC}\Rightarrow ADCG\) là hbh \(\Rightarrow\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{GA}\)

Tương tự DEBG là hbh \(\Rightarrow\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{GB}\)

\(\overrightarrow{GE}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{0}\)