Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
theo bất đẳng thức côsi ta có :
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
1) Theo bđt AM-GM,ta có: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)
Suy ra \(\frac{a^2}{b+c}\ge a-\frac{b+c}{4}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm
Tự c/m BĐT phụ nhé: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\)
Dấu " = " xay ra <=> a\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)
Áp dụng:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow1\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\ge9\)
Dấu " = " xảy ra <=> a=b=c=3
Anh dinh: EM có cách phần a) khá quen thuộc ạ!TỐi giờ nghĩ mãi ko ra,ai ngờ đơn giản :v
a)Áp dụng BĐT \(\frac{q^2}{x}+\frac{p^2}{y}\ge\frac{\left(q+p\right)^2}{x+y}\) hai lần,ta được:
Ta có: \(VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\)
Áp dụng BĐT quen thuộc \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
Ta có: \(VT=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ca}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{ab+bc+ca}=ab+bc+ca^{\left(đpcm\right)}\)
Ta chứng minh BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) bằng biến đổi tương đương.
\(\frac{1}{ac}+\frac{1}{bc}=\frac{1}{c}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge\frac{1}{c}.\frac{4}{a+b}=\frac{4}{c\left(a+b\right)}\)
Áp dụng BĐT \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\) ta được:
\(c\left(a+b\right)\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\Leftrightarrow\frac{4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{4}{4}=1\)
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Sử dụng bđt cauchy dạng 1/x+1/y >/ 4/(x+y)
ta đc VT >/ 4/(ac+bc)=4/c(a+b)=4/c(4-c) (do a+b+c=4)
Sử dụng bdt cauchy dạng xy </ (x+y)^2/4 ta có c(4-c) </ (c+4-c)^2/4=4
=>VT >/ 4/4=1
Mình gợi ý nhé. Dùng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) và\(c\left(a+b\right)\le\frac{\left(c+a+b\right)^2}{4}=\frac{4^2}{4}=4\Leftrightarrow\frac{4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{4}{4}=1\)