Câu 1: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(\frac12x^2=x+m\)

=>\(x^2=2x+2m\)

=>\(x^2-2x-2m=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-2m\right)=8m+4\)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì 8m+4>0

=>8m>-4

=>m>-1/2

Theo Vi-et, ta có: \(\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2\\ x_1x_2=\frac{c}{a}=-2m\end{cases}\)

\(\frac{1}{2\cdot y_1}+\frac{1}{2\cdot y_2}=2\)

=>\(\frac{1}{2\cdot\frac12\cdot x_1^2}+\frac{1}{2\cdot\frac12\cdot x_2^2}=2\)

=>\(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=2\)

=>\(\frac{x_1^2+x_2^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=2\)

=>\(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2\left(x_1x_2\right)^2\)

=>\(2^2-2\cdot\left(-2m\right)=2\cdot\left(-2m\right)^2\)

=>\(4+4m=2\cdot4m^2=8m^2\)

=>\(2m^2=m+1\)

=>\(2m^2-m-1=0\)

=>\(2m^2-2m+m-1=0\)

=>(m-1)(2m+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}m-1=0\\ 2m+1=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=1\left(nhận\right)\\ m=-\frac12\left(loại\right)\end{array}\right.\)

Câu 2: Gọi độ dài cạnh đáy ban đầu là x(m)

(Điều kiện: x>0)

Độ dài đường cao ban đầu là 0,5x(m)

Chiều cao sau khi tăng thêm 2m là 0,5x+2(m)

Độ dài cạnh đáy sau khi tăng thêm 6m là x+6(m)

Diện tích mới=2 lần diện tích ban đầu nên ta có:

\(\frac12\cdot\left(0,5x+2\right)\left(x+6\right)=2\cdot\frac12\cdot x\cdot0,5x\)

=>\(\frac12\left(0,5x^2+3x+2x+12\right)=0,5x^2\)

=>\(\frac12\left(0,5x^2+5x+12\right)=0,5x^2\)

=>\(x^2=0,5x^2+5x+12\)

=>\(0,5x^2-5x-12=0\)

=>\(x^2-10x-24=0\)

=>(x-12)(x+2)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x-12=0\\ x+2=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}x=12\left(nhận\right)\\ x=-2\left(loại\right)\end{array}\right.\)

Diện tích tam giác ban đầu là:

\(\frac12\cdot12\cdot0,5\cdot12=144\cdot0,5:2=\frac{72}{2}=36\left(m^2\right)\)

b: Thay m=2 vào (d), ta được:

y=2x-2+1=2x-1

Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2x-1\)

=>\(x^2-2x+1=0\)

=>(x-1)^2=0

=>x-1=0

=>x=1

Thay x=1 vào (P), ta được:

\(y=1^2=1\)

Vậy: Khi m=2 thì (P) cắt (d) tại A(1;1)

b: Phương trình hoành độ giao điểm là:

\(x^2=2x-m+1\)

=>\(x^2-2x+m-1=0\)

\(\text{Δ}=\left(-2\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-1\right)\)

=4-4m+4

=-4m+8

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì Δ>0

=>-4m+8>0

=>-4m>-8

=>m<2

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-1\end{matrix}\right.\)

y1,y2 thỏa mãn gì vậy bạn?

Bài 3 làm sao v ạ?

1/

\(\hept{\begin{cases}3x+4y=6\left(1\right)\\2x-y=-7\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow8x-4y=-28\left(3\right)\)

Cộng 2 vế của (1) với (3) \(\Rightarrow11x=-22\Rightarrow x=-2\) Thay vào (2) \(\Rightarrow2.\left(-2\right)-y=-7\Rightarrow y=3\)

2/

a/ d cắt p tại 2 điểm phân biệt khi \(x^2=5x+m\Leftrightarrow x^2-5x-m=0\) có 2 nghiệm phân biệt

Điều kiện \(\Delta=25+4m>0\Leftrightarrow m>-\frac{25}{4}\)

b/ Khi m=-4

\(x^2-5x+4=0\Rightarrow x_1=1;x_2=4\)

Khi m=-4 d cắt p tại 2 điểm phân biệt A(1;0) và B(4;0)

a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:

\(\dfrac{x^2}{2}=mx-m+2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}x^2-mx+m-2=0\)

\(\Delta=\left(-m\right)^2-4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\left(m-2\right)=m^2-2m+4>0\forall m\)

Do đó: (P) và (d) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt(Đpcm)

1: Thay x=0 và y=m-1 vào y=ax+b, ta được:

a*0+b=m-1

=>b=m-1

=>y=ax+m-1

2: PTHĐGĐ là:

x^2-ax-m+1=0

Δ=(-a)^2-4(-m+1)=a^2+4m-4

Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt thì a^2+4m-4>0

=>a^2>-4m+4

=>-4m+4>0

=>m<1

\(y=x^2+1\) hay \(y=x^2-1\)

a. Bạn tự giải

b.

Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (P):

\(\dfrac{1}{2}x^2=x-m\Leftrightarrow x^2-2x+2m=0\) (1)

(d) cắt (P) tại 2 điểm pb khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow\Delta'=1-2m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\)