\(\left(x^{-4}+x^{\frac{5}{2}}\right)^{12}\) có SHTQ: \(C_{12}^kx^{-4k}.x^{\frac{5}{2}\left(12-k\right)}=C^k_{12}x^{30-\frac{13}{2}k}\)

Số hạng chứa \(x^8\Rightarrow30-\frac{13}{2}k=8\Rightarrow\) ko có k nguyên thỏa mãn

Vậy trong khai triển trên ko có số hạng chứa \(x^8\)

b/ \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_4=16\\2k_2+4k_4=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_4\right)=\left(8;8;0\right);\left(9;6;1\right);\left(10;4;2\right);\left(11;2;3\right);\left(12;0;4\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^{16}\):

\(\frac{16!}{8!.8!}+\frac{16!}{9!.6!}+\frac{16!}{10!.4!.2!}+\frac{16!}{11!.2!.3!}+\frac{16!}{12!.4!}=...\)

c/ SHTQ của khai triển \(\left(1-2x\right)^5\) là \(C_5^k\left(-2\right)^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^4\) có hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^4\)

SHTQ của khai triển \(\left(1+3x\right)^{10}\) là: \(C_{10}^k3^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_{10}^33^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C_5^4\left(-2\right)^4+C_{10}^3.3^3\)

\(\left(x^{-\frac{2}{3}}+x^{\frac{3}{4}}\right)^{17}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^k\left(x^{-\frac{2}{3}}\right)^k\left(x^{\frac{3}{4}}\right)^{17-k}=\sum\limits^{17}_{k=0}C_{17}^kx^{\frac{51}{4}-\frac{17}{12}k}\)

Số hạng thứ 13 \(\Rightarrow k=12\) là: \(C_{17}^{12}x^{-\frac{17}{4}}\)

b/ Xét khai triển:

\(\left(3-x\right)^n=C_n^03^n+C_n^13^{n-1}\left(-x\right)^1+C_n^23^{n-2}\left(-x\right)^2+...+C_n^n\left(-x\right)^n\)

Cho \(x=1\) ta được:

\(2^n=3^nC_n^0-3^{n-1}C_n^1+3^{n-2}C_n^2+...+\left(-1\right)^nC_n^n\)

À, đến đây mới thấy đề thiếu, biết rằng cái kia làm sao hả bạn?

Làm xong rồi nhấn gửi thì lỗi, làm lại từ đầu nên chỉ làm 2 câu thôi, 2 câu sau bạn tự làm tương tự:

a/ \(\sum\limits^8_{k=0}C_8^kx^{2k}\left(1-x\right)^k=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-1\right)^ix^{2k+i}\)

Số hạng chứa \(x^8\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2k+i=8\\0\le i\le k\le8\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;4\right);\left(2;3\right)\)

Hệ số: \(C_8^4C_4^0.\left(-1\right)^0+C_8^3C_3^2.\left(-1\right)^2\)

b/ \(1+x+x^2+x^3=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(1+x+x^2+x^3\right)^{10}=\left(1+x\right)^{10}\left(1+x^2\right)^{10}\)

\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^k\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^ix^{2i}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^ix^{2i+k}\)

Số hạng chứa \(x^5\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2i+k=5\\0\le k\le10\\0\le i\le10\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;5\right);\left(1;3\right);\left(2;1\right)\)

Hệ số: \(C_{10}^0C_{10}^5+C_{10}^1C_{10}^3+C_{10}^2C_{10}^1\)

\(\left(1+x\right)^n\) có SHTQ \(C_n^kx^k\)

\(\Rightarrow\) số hạng chứa \(x^3\) có \(k=3\)

Hệ số:

\(T=C_3^3+C_4^3+C_5^3+...+C_{50}^3\)

\(T=C_4^4+C_4^3+C_5^3+...+C_{50}^3\) (do \(C_3^3=1=C_4^4\))

\(T=C_5^4+C_5^3+C_6^3+...+C_{50}^3\)

\(T=C_6^4+C_6^3+...+C_{50}^3=...=C_{51}^4\)

Chắc bạn viết nhầm biểu thức \(B\left(x\right)\), có lẽ biểu thức đúng là thế này:

\(B\left(x\right)=\left(1+2x\right)^3+\left(1+2x\right)^4+...+\left(1+2x\right)^{22}\)

Số hạng tổng quát của khai triển \(\left(1+2x\right)^n\) là \(C_n^k2^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_n^32^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^3\) trong khai triển \(B\left(x\right)\) là:

\(T=2^3\left(C_3^3+C_4^3+...+C_{22}^3\right)=2^3.C_{23}^4\) (chứng minh tổng trong ngoặc tương tự câu trên)

16.

\(y'=\frac{\left(cos2x\right)'}{2\sqrt{cos2x}}=\frac{-2sin2x}{2\sqrt{cos2x}}=-\frac{sin2x}{\sqrt{cos2x}}\)

17.

\(y'=4x^3-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{2\sqrt{x}}\)

18.

\(y'=3x^2-2x\)

\(y'\left(-2\right)=16;y\left(-2\right)=-12\)

Pttt: \(y=16\left(x+2\right)-12\Leftrightarrow y=16x+20\)

19.

\(y'=-\frac{1}{x^2}=-x^{-2}\)

\(y''=2x^{-3}=\frac{2}{x^3}\)

20.

\(\left(cotx\right)'=-\frac{1}{sin^2x}\)

21.

\(y'=1+\frac{4}{x^2}=\frac{x^2+4}{x^2}\)

22.

\(lim\left(3^n\right)=+\infty\)

11.

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\frac{-2x+1}{x-1}=\frac{-1}{0}=-\infty\)

12.

\(y=cotx\Rightarrow y'=-\frac{1}{sin^2x}\)

13.

\(y'=2020\left(x^3-2x^2\right)^{2019}.\left(x^3-2x^2\right)'=2020\left(x^3-2x^2\right)^{2019}\left(3x^2-4x\right)\)

14.

\(y'=\frac{\left(4x^2+3x+1\right)'}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}\)

15.

\(y'=4\left(x-5\right)^3\)

3.

\(x-2y+1=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\)

\(y'=\frac{2}{\left(x+1\right)^2}\Rightarrow\frac{2}{\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2=4\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\Rightarrow y=1\\x=-3\Rightarrow y=3\end{matrix}\right.\)

Có 2 tiếp tuyến: \(\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}\left(x-1\right)+1\\y=\frac{1}{2}\left(x+3\right)+3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\left(l\right)\\y=\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}\end{matrix}\right.\)

4.

\(\lim\limits\frac{\sqrt{2n^2+1}-3n}{n+2}=\lim\limits\frac{\sqrt{2+\frac{1}{n^2}}-3}{1+\frac{2}{n}}=\sqrt{2}-3\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=3\end{matrix}\right.\)

5.

\(\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{2\left(x^2-a^2\right)+a\left(a+1\right)-\left(a+1\right)x}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\left(x-a\right)\left(2x+2a\right)-\left(a+1\right)\left(x-a\right)}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{\left(x-a\right)\left(2x+a-1\right)}{\left(x-a\right)\left(x+a\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{2x+a-1}{x+a}=\frac{3a-1}{2a}\)

1.

\(f'\left(x\right)=-3x^2+6mx-12=3\left(-x^2+2mx-4\right)=3g\left(x\right)\)

Để \(f'\left(x\right)\le0\) \(\forall x\in R\) \(\Leftrightarrow g\left(x\right)\le0;\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=m^2-4\le0\Rightarrow-2\le m\le2\)

\(\Rightarrow m=\left\{-1;0;1;2\right\}\)

2.

\(f'\left(x\right)=\frac{m^2-20}{\left(2x+m\right)^2}\)

Để \(f'\left(x\right)< 0;\forall x\in\left(0;2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-20< 0\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\sqrt{20}< m< \sqrt{20}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -4\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m=\left\{1;2;3;4\right\}\)

Đầu tiên ta có \(\left(1+x\right)^{20}\) có SHTQ \(C_{20}^kx^k\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là \(C_{20}^{10}\) (1)

Ta cũng có khai triển:

\(\left(1+x\right)^{10}\left(x+1\right)^{10}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC^i_{10}x^{10+i-k}\)

Số hạng chứa \(x^{10}\Rightarrow10+i-k=10\Rightarrow i=k\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là:

\(\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^i=\sum\limits^{10}_{k=0}\left(C_{10}^k\right)^2=\left(C_{10}^0\right)^2+\left(C_{10}^1\right)^2+...+\left(C_{10}^{10}\right)^2\)

Mà từ (1) ta có hệ số của số hạng chứa \(x^{10}\) là \(C_{20}^{10}\Rightarrow S=C_{20}^{10}\)