a) Do : \(\overline{abc}⋮37\)

\(\Leftrightarrow100a+10b+c⋮37\)

\(\Rightarrow1000a+100b+10c⋮37\)

Lại có : \(999a⋮37\)

\(\Rightarrow1000a-999a+100b+10c⋮37\)

\(\Leftrightarrow100b+10c+a⋮37\)

\(\Leftrightarrow1000b+100c+10a⋮37\)

\(\Leftrightarrow1000b-999b+100c+10a⋮37\)

\(\Leftrightarrow100c+10a+b⋮37\)

hay : \(\overline{cab}⋮37\) (ddpcm)

b) Ta có : \(xy+12=x+y\)

\(\Leftrightarrow x+y-xy=12\)

\(\Leftrightarrow x\left(1-y\right)-\left(1-y\right)=11\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(1-y\right)=11\)

Do đó : x-1 và y-1 là các cặp ước của 11

Rồi bạn lập bảng xét các ước của 11.

a.Xét tổng\(11.\overline{abc}+\overline{cab}\)ta có:

\(11.\overline{abc}+\overline{cab}=1110a+111b+111c=111\left(10a+b+c\right)=37.3\left(10a+b+c\right)⋮37\)

Mà \(11.\overline{abc}⋮37\Rightarrow\overline{cab}⋮37\)

xy+12=x+y

\(\Rightarrow xy-x-y=12\)

\(\Rightarrow x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=12+1\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=13\)

Mà x,y nguyên nên ta có bảng sau:

Vây...........

\(_{\overline{abc}⋮37\Rightarrow100a+10b+c⋮37}\)

suy ra 10.(100a+10b+c) \(⋮\)37

1000a+100b+10c \(⋮\)37

mà 999=37.27\(⋮\)37 suy ra 999a \(⋮\)37

1000a+100b+10c -999a \(⋮\)37 suy ra a+100b+10c  \(⋮\)37

suy ra 10 (a+100b+10c)   \(⋮\)37

suy ra 1000b+100c+10a  \(⋮\)37

Mà 999b chia hết cho 37

suy ra 1000b+100c+10a-999b \(⋮\)37

100c+10a+b \(⋮\)37 suy ra\(\overline{cab}⋮37\)

b) x.y-x-y+12=0

suy ra x.(y-1)-(y-1)+11=0

suy ra (x-1).(y-1)=-11

Vì x, y nguyên nên x-1 và y-1 nguyên

suy ra x-1 vầ y-1 thuộc vào ước nguyên của -11

ta có bảng sau: