=> A = ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + ( 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹ ) + .... + ( 2⁹⁶ + 2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ )

=> A = 31 + 2⁵ . ( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ ) + .... + 2⁹⁶.( 1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ )

=> A = 31 + 2⁵ . 31 + .... + 2⁹⁶ . 31

=> A = 31 . ( 1 + 2⁵ + 2¹⁰ + .... + 2⁹⁶ )

Vì 31 chia hết cho 31 nên A chia cho 31 dư 0

\(A=1+\left(2+2^2+2^3+2^4+2^5\right)+....+\left(2^{96}+2^{97}+2^{98}+2^{99}+2^{100}\right)\)

\(A=1+2.31+....+2^{96}.31=31.\left(2+2^6+...+2^{96}\right)+1\)

Chia 31 dư 1

Dư 2 ko bt đúng ko

Bài toán có thể được viết lại dưới dạng hệ đồng dư thức như sau:

• X≡5(mod9)
• X≡3(mod5)
• X≡4(mod7)

Tìm nghiệm

Từ phương trình đầu tiên, ta có thể biểu diễn X dưới dạng X=9k+5 với k là một số nguyên. Thay X vào phương trình thứ hai: 9k+5≡3(mod5) 9k+2≡0(mod5) (vì 5≡0(mod5), ta có 9k+5−3≡0(mod5), tức là 9k+2≡0(mod5)) 4k+2≡0(mod5) (vì 9≡4(mod5)) 4k≡−2(mod5) 4k≡3(mod5) Nhân cả hai vế với 4 (vì 4×4=16≡1(mod5)): 16k≡12(mod5) k≡2(mod5) Vậy, k có dạng k=5j+2 với j là một số nguyên.

Bây giờ, thay k trở lại biểu thức của X: X=9(5j+2)+5 X=45j+18+5 X=45j+23

Tiếp theo, thay X vào phương trình cuối cùng: 45j+23≡4(mod7) 45j+19≡0(mod7) 3j+5≡0(mod7) (vì 45=6×7+3, nên 45≡3(mod7); 19=2×7+5, nên 19≡5(mod7)) 3j≡−5(mod7) 3j≡2(mod7) Nhân cả hai vế với 5 (vì 3×5=15≡1(mod7)): 15j≡10(mod7) j≡3(mod7) Vậy, j có dạng j=7m+3 với m là một số nguyên.

Cuối cùng, thay j trở lại biểu thức của X: X=45(7m+3)+23 X=315m+135+23 X=315m+158

Kết luận

Số X nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên là khi m=0, ta có X=158. Các số X khác có dạng 315m+158, trong đó m là số nguyên. Vậy, số nhỏ nhất X cần tìm là 158.

Đặt A=1+2+2²+..............+2²⁰¹⁷ 

     \(\Rightarrow\)2A =2+2²+2³+.............+2²⁰¹⁸

       \(\Rightarrow\)2A -A = (2+2²+2³+............+2²⁰¹⁸)  -(1+2+2² +...............+2²⁰¹⁷)

       \(\Rightarrow\)A= 2²⁰¹⁸ -1

  Lại có :A = ( 2³ )⁶⁷² .2² -1 =(7+1)⁶⁷² .2² -1= ( B₍₇₎ +1).2² -1 =2² .B(7) +2²-1=2² .B(7)+3

Vây A chia 7 dư 3

\(\overline{abcd}=100\overline{ab}+\overline{cd}=200\overline{cd}+\overline{cd}=201\overline{cd}=3.67.\overline{cd}⋮67\)

Câu 2 bạn ghi sai đề rồi nhé. 

Ví dụ \(135⋮27\)nhưng \(315⋮̸27\).

Sửa: Cho số \(\overline{abc}\)chia hét cho \(27\). Chứng minh rằng \(\overline{cab}\)cũng chia hết cho \(27\).

Ta có: \(\overline{abc}=100a+10b+c⋮7\Leftrightarrow10000a+1000b+100c⋮27\)

\(\Leftrightarrow10000-370.27a+1000b-37.27b+100c⋮27\)

\(\Leftrightarrow100c+10a+b=\overline{cab}⋮27\).

Ta có abcd = 100ab+cd = 100.2.cd+cd = 200cd+cd = 201.cd 

= 67.3.cd chia hết cho 67

                   Vậy nếu ab=2cd => abcd chia hết cho 67!

Số đó là:10

giúp mình với các bạn ơi

giúp đi mà.