a: Số điểm còn lại là 20-6=14(điểm)

TH1: Chọn 1 điểm trong 6 điểm thẳng hàng; chọn 1 điểm trong 14 điểm không thẳng hàng

Số đường thẳng vẽ được là \(6\cdot14=84\) (đường)

TH2: Chọn 2 điểm bất kì trong 14 điểm không thẳng hàng

Số đường thẳng vẽ được là: \(\frac{14\left(14-1\right)}{2}=14\cdot\frac{13}{2}=7\cdot13=91\) (đường)

TH3: Chọn 2 điểm bất kì trong 6 điểm thẳng hàng

=>Số đường thẳng vẽ được là 1 đường thẳng

Tổng số đường thẳng vẽ được là:

84+91+1=176(đường)

b: Số điểm còn lại là n-7(điểm)

TH1: Chọn 1 điểm trong 7 điểm thẳng hàng; chọn 1 điểm trong n-7 điểm không thẳng hàng

Số đường thẳng vẽ được là 7(n-7)(đường)

TH2: Chọn 2 điểm trong n-7 điểm không thẳng hàng

Số đường thẳng vẽ được là: \(\frac{\left(n-7\right)\left(n-7-1\right)}{2}=\frac{\left(n-7\right)\left(n-8\right)}{2}\) (đường)

TH3: Chọn 2 điểm trong 7 điểm thẳng

=>Số đường thẳng vẽ được là 1 đường

Tổng số đường thẳng vẽ được là 211 đường nên ta có:

\(7\left(n-7\right)+\frac{\left(n-7\right)\left(n-8\right)}{2}+1=211\)

=>\(\frac{14\left(n-7\right)+\left(n-7\right)\left(n-8\right)}{2}=210\)

=>14(n-7)+(n-7)(n-8)=420

=>(n-7)(n+6)=420

=>\(n^2-n-42-420=0\)

=>\(n^2-n-462=0\)

=>(n-22)(n+21)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}n-22=0\\ n+21=0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}n=22\left(nhận\right)\\ n=-21\left(loại\right)\end{array}\right.\)

vậy: n=22

a, Khi có 20 điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng kẻ được là 20.(20−1)2=10.19=190(đường thẳng).

Tuy nhiên trong 20 điểm phân biệt đó có đúng 6 điểm thẳng hàng đã được tính là không có ba điểm nào thẳng hàng.

+ Nếu trong 6 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng kẻ được đi qua 2 điểm trong 6 điểm đó là 6.52=15(đường thẳng).

+ Nếu 6 điểm thẳng hàng thì chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua 6 điểm đó.

Do đó số đường thằng đi qua 6 điểm thằng hàng đã được tính thành 15 đường, tuy nhiên thực tế chỉ có 1 đường.

Vì vậy, với 20 điểm phân biệt trong đó có đúng 6 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào khác thẳng hàng thì số đường thẳng kẻ được là:

190 – 15 + 1 = 176(đường thẳng).

Vậy vẽ được 176 đường thẳng từ 20 điểm đó.

b

Khi có n điểm phân biệt, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng kẻ được là n(n−1)2 (đường thẳng).

Tuy nhiên trong n điểm phân biệt đó có đúng 7 điểm thẳng hàng đã được tính là không có ba điểm nào thẳng hàng.

+ Nếu trong 7 điểm không có ba điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng kẻ được đi qua 2 điểm trong 7 điểm đó là 7.62=21(đường thẳng).

+ Nếu 7 điểm thẳng hàng thì chỉ có duy nhất 1 đường thẳng đi qua 7 điểm đó.

Do đó số đường thằng đi qua 7 điểm thằng hàng đã được tính thành 21 đường, tuy nhiên thực tế chỉ có 1 đường.

Vì vậy, với n điểm phân biệt trong đó có đúng 7 điểm thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào khác thẳng hàng thì số đường thẳng kẻ được là:

n(n−1)2−21+1=n(n−1)2−20 (đường thẳng).

Mà có tất cả 211 đường thẳng

Do đó n(n−1)2−20=211

Hay n(n−1)2=231

Nên n(n – 1) = 462 = 22 . 21

Suy ra n = 22

Vậy có 22 điểm phân biệt.

Số điểm không thẳng hàng là 30-5=25(điểm)

TH1: Lấy 1 điểm trong 25 điểm không thẳng hàng, lấy 1 điểm trong 5 điểm thẳng hàng

Số đường thẳng vẽ được là \(25\cdot5=125\) (đường)

TH2: Lấy 2 điểm trong 25 điểm không thẳng hàng

Số đường thẳng vẽ được là:

\(C_{25}^2=\frac{25!}{\left(25-2\right)!\cdot2!}=\frac{24\cdot25}{2}=12\cdot25=300\)(đường)

TH3: Lấy 2 điểm trong 5 điểm thẳng hàng

=>Chỉ vẽ được đúng 1 đường thẳng

Tổng số đường thẳng vẽ được là:

125+300+1=126+300=426(đường)

Số điểm mà trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng là:

30 - 5 = 25

+ Xét 25 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

cứ 1 điểm sẽ tạo với 25 điểm còn lại 25 - 1 (đường thẳng)

Với 25 điểm sẽ tạo được: (25 - 1).25 (đường thẳng)

Theo cách tính trên mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, nên thực tế số đường là: (25-1).25:2 = 300 (đường thẳng)

+Xét 5 điểm thẳng hàng ta có:

qua 5 điểm thẳng hàng ta có duy nhất 1 đường thẳng

+ Xét 25 điểm nằm ngoài đường thẳng với 5 điểm nằm trên đường thẳng ta có:

Cứ 1 điểm nằm ngoài đường thẳng sẽ tạo với 5 điểm năm trên đường thẳng 5 đường thẳng.

Với 25 điểm nằm ngoài đường thẳng sẽ tạo với 5 điểm trên đường thẳng số đường thẳng là:

                       5 \(\times\) 25 = 125 (đường thẳng)

Vậy với 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được số đường thẳng là:

               300 + 1 + 125 = 426 (đường thăng)

Kết luận:... 

Số điểm mà trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng là:

30 - 5 = 25

+ Xét 25 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.

cứ 1 điểm sẽ tạo với 25 điểm còn lại 25 - 1 (đường thẳng)

Với 25 điểm sẽ tạo được: (25 - 1).25 (đường thẳng)

Theo cách tính trên mỗi đường thẳng đã được tính hai lần, nên thực tế số đường là: (25-1).25:2 = 300 (đường thẳng)

+Xét 5 điểm thẳng hàng ta có:

qua 5 điểm thẳng hàng ta có duy nhất 1 đường thẳng

+ Xét 25 điểm nằm ngoài đường thẳng với 5 điểm nằm trên đường thẳng ta có:

Cứ 1 điểm nằm ngoài đường thẳng sẽ tạo với 5 điểm năm trên đường thẳng 5 đường thẳng.

Với 25 điểm nằm ngoài đường thẳng sẽ tạo với 5 điểm trên đường thẳng số đường thẳng là:

                       5 \(\times\) 25 = 125 (đường thẳng)

Vậy với 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng thì sẽ vẽ được số đường thẳng là:

               300 + 1 + 125 = 426 (đường thăng)

Kết luận:... 

Số điểm không thẳng hàng là 30-5=25(điểm)

Th1: Chọn 1 điểm trong 5 điểm thẳng hàng; chọn 1 điểm trong 25 điểm không thẳng hàng

Số đường thẳng vẽ được là: \(5\cdot25=125\) (đường)

TH2: Chọn 2 điểm trong 25 điểm không thẳng hàng

Số đường thẳng vẽ được là: \(\frac{25\left(25-1\right)}{2}=25\cdot12=300\) (đường)

TH3: Chọn 2 điểm trong 5 điểm thẳng hàng

=>Chỉ vẽ được đúng 1 đường thẳng

Tổng số đường thẳng vẽ được là:

125+300+1=425+1=426(đường)

                  Giả sử trong 80 điểm đó không có bất kì điểm nào thẳng hàng

Lấy một điểm bất kì trong 80 điểm đã cho, kẻ với 79 điểm còn lại ta được 79 đường thẳng.Làm tương tự như vậy với tất cả các điểm còn lại ta được:80 x 79 (đường thẳng)

Nhưng nếu làm như vậy , mỗi đường thẳng được tính 2 lần. Do đó số đường thẳng kẻ được là: 80 x 79 : 2= 3160 (đường thẳng)

Vì trong 80 điểm đó có 30 điểm thẳng hàng

⇒số đường thẳng bị hụt đi là: 30 x 29 : 2 - 1=434 (đường thẳng)

Do đó số đường thẳng thực sự kẻ được là: 3160 - 434= 2726 (đường thẳng)

                                                   ĐÁP SỐ:2726 (đường thẳng)