a: H là trực tâm của ΔABC

=>AH⊥BC và BH⊥AC

=>\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0;\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

A(4;3); H(x;y); B(-1;-1); C(2;-4)

\(\overrightarrow{AH}=\left(x-4;y-3\right);\overrightarrow{BC}=\left(2+1;-4+1\right)=\left(3;-3\right)\)

\(\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\)

=>3(x-4)+(-3)(y-3)=0

=>x-4+(-1)(y-3)=0

=>x-4-y+3=0

=>x-y-1=0

=>x=y+1

B(-1;-1); H(x;y); A(4;3); C(2;-4)

\(\overrightarrow{BH}=\left(x+1;y+1\right);\overrightarrow{AC}=\left(2-4;-4-3\right)=\left(-2;-7\right)\)

\(\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)

=>-2(x+1)+(-7)(y+1)=0

=>2x+2+7y+7=0

=>2x+7y+9=0

=>2(y+1)+7y+9=0

=>2y+2+7y+9=0

=>9y=-11

=>\(y=-\frac{11}{9}\)

=>\(x=-\frac{11}{9}+1=-\frac29\)

Vậy: H(-2/9;-11/9)

b: C(2;-4); H(-2/9;-11/9)

=>\(\overrightarrow{CH}=\left(-\frac29-2;-\frac{11}{9}+4\right)=\left(-\frac{11}{9};\frac{25}{9}\right)=\left(-11;25\right)\)

=>vecto pháp tuyến là (25;11)

Phương trình đường cao CH là:

25(x-2)+11(y+4)=0

=>25x-50+11y+44=0

=>25x+11y-6=0

=>25x+11y=6

A(4;3); B(-1;-1)

=>\(\overrightarrow{AB}=\left(-1-4;-1-3\right)=\left(-5;-4\right)=\left(5;4\right)\)

=>Vecto pháp tuyến là (-4;5)

Phương trình đường thẳng AB là:

-4(x-4)+5(y-3)=0

=>-4x+16+5y-15=0

=>-4x+5y+1=0

=>-4x+5y=-1

=>4x-5y=1

Tọa độ K là:

\(\begin{cases}25x+11y=6\\ 4x-5y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}125x+55y=30\\ 44x-55y=11\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}125x+55y+44x-55y=30+11\\ 4x-5y=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}169x=41\\ 5y=4x-1\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}x=\frac{41}{169}\\ 5y=4\cdot\frac{41}{169}-1=-\frac{5}{169}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{41}{169}\\ y=-\frac{1}{169}\end{cases}\)

=>K(41/169;-1/169)

c: \(BC=\sqrt{3^2+\left(-3\right)^2}=3\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{\left(-2\right)^2+\left(-7\right)^2}=\sqrt{4+49}=\sqrt{53}\)

\(AB=\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\)

Chu vi tam giác ABC là:

\(C_{ABC}=AB+AC+BC=3\sqrt2+\sqrt{53}+\sqrt{41}\)

B A K C H(-1;1) 4x+3y-13=0 x-y+1=0

Gọi K là điểm đối xứng với H qua đường phân giác trong góc A. Khi đó K thuộc đường thẳng AC. Đường thẳng HK có phương trình \(x+y+2=0\)

Gọi I là giao điểm của HK và đường phân giác trong góc A thì I có tọa độ là nghiệm của hệ :

\(\begin{cases}x-y+2=0\\x+y+2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\y=0\end{cases}\)\(\Rightarrow I\left(-2;0\right)\)

I là trung điểm HK nên suy ta \(K\left(-3;1\right)\)

Khi đó AC :\(3\left(x+3\right)-4\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow3x-4y+1=0\)

A có tọa độ thỏa mãn : \(\begin{cases}x-y+2=0\\3x-4y+13=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=5\\y=7\end{cases}\)\(\Leftrightarrow A\left(5;7\right)\)

AB có phương trình : \(\frac{x+1}{6}=\frac{y+1}{8}\Leftrightarrow4x-3y+1=0\)

B có tọa độ thỏa mãn : \(\begin{cases}4x+3y-1=0\\4x-3y+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=0\\y=\frac{1}{3}\end{cases}\)\(\Rightarrow B\left(0;\frac{1}{3}\right)\)

HC có phương trình : \(3\left(x+1\right)+4\left(y+1\right)=0\Leftrightarrow30+4y+7=0\)

C có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình :

 \(\begin{cases}3x+4y+7=0\\3x-4y+13=0\end{cases}\)\(\begin{cases}x=-\frac{10}{3}\\y=\frac{3}{4}\end{cases}\)\(\Rightarrow C\left(-\frac{10}{3};\frac{3}{4}\right)\)

1: A(1;1); B(3;3); C(0;-6)

\(AB=\sqrt{\left(3-1\right)^2+\left(3-1\right)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\)

\(AC=\sqrt{\left(0-1\right)^2+\left(-6-1\right)^2}=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-7\right)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt2\)

\(BC=\sqrt{\left(0-3\right)^2+\left(-6-3\right)^2}=\sqrt{\left(-3\right)^2+\left(-9\right)^2}=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\)

Xét ΔABC có \(cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}\)

\(=\frac{8+50-90}{2\cdot2\sqrt2\cdot5\sqrt2}=\frac{8-40}{4\cdot2\cdot5}=\frac{-32}{8\cdot5}=\frac{-4}{5}\)

2: D(x;y); A(1;1); B(3;3)

\(\overrightarrow{DA}=\left(1-x;1-y\right);\overrightarrow{DB}=\left(3-x;3-y\right)\)

ΔDAB vuông cân tại D

=>DA=DB và \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0\)

DA=DB

=>\(\left(1-x\right)^2+\left(1-y\right)^2=\left(3-x\right)^2+\left(3-y\right)^2\)

=>\(x^2-2x+1+y^2-2y+1=x^2-6x+9+y^2-6y+9\)

=>-2x-2y+2=-6x-6y+18

=>4x+4y=16

=>x+y=4

=>y=4-x

\(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}=0\)

=>(1-x)(3-x)+(1-y)(3-y)=0

=>(x-1)(x-3)+(y-1)(y-3)=0

=>(x-1)(x-3)+(4-x-1)(4-x-3)=0

=>(x-1)(x-3)+(3-x)(1-x)=0

=>2(x-1)(x-3)=0

=>(x-1)(x-3)=0

=>x=1 hoặc x=3

TH1: x=1

=>y=4-x=4-1=3

=>D(1;3)

TH2: x=3

=>y=4-x=4-3=1

=>D(3;1)

Do C là 1 đỉnh trên trục lớn của elip đồng thời tam giác ABC đều \(\Rightarrow\) AB vuông góc trục lớn elip \(\Rightarrow\)A và B nằm về 2 phía trục hoành. Giả sử A là điểm có tung độ dương

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow H\in Ox\Rightarrow H\left(h;0\right)\) đồng thời \(x_A=x_H=h\) và \(\left|h\right|< 2\)

\(\dfrac{h^2}{4}+\dfrac{y_A^2}{1}=1\Rightarrow y_A=\sqrt{1-\dfrac{h^2}{4}}\)

Tam giác ABC đều \(\Rightarrow\widehat{ACB}=60^0\Rightarrow\widehat{ACH}=30^0\)

\(tan30^0=\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{y_A}{x_C-x_H}=\dfrac{\sqrt{1-\dfrac{h^2}{4}}}{2-h}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

\(\Leftrightarrow12-3h^2=4\left(2-h\right)^2\)

\(\Leftrightarrow7h^2-16h+4=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}h=\dfrac{2}{7}\\h=2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow y_A=\sqrt{1-\dfrac{h^2}{4}}=\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\)

Vậy tọa độ 2 điểm A và B là \(\left(\dfrac{2}{7};\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right)\) và \(\left(\dfrac{2}{7};-\dfrac{4\sqrt{3}}{7}\right)\)