đề thiếu nha bn ; đề đủ là : chứng minh \(6^{2n}+10.3^n\) chia hết cho \(11\) với mọi \(n\) thuộc N^* .

+ với \(n=1\) ta có : \(6^{2n}+10.3^n=6^2+10.3^1=66\) chia hết cho \(11\)

+ giả sử : khi \(n=k\) thì \(6^{2n}+10.3^n=6^{2k}+10.3^k\) chia hết cho \(11\)

ta có khi \(n=k+1\) \(\Rightarrow6^{2n}+10.3^n=6^{2\left(k+1\right)}+10.3^{k+1}\)

\(=6^2.6^{2k}+10.3^k.3=36.6^{2k}+10.3^k.36-33.10.3^k\)

\(=\left(36.\left(6^{2k}+10.3^k\right)-33.10.3^k\right)⋮11\)

\(\Rightarrow6^{2n}+10.3^n=\left(36.\left(6^{2k}+10.3^k\right)-33.10.3^k\right)⋮11\)

vậy \(6^{2n}+10.3^n\) chia hết cho \(11\) với mọi \(n\) thuộc N*

Em học lớp 8 thôi :)) Cái này em k chắc lắm ạ, có gì sai anh chỉ nhé !

Gợi ý :

3) \(n^3+11n=n\cdot\left(n^2+11\right)=n\cdot\left(n^2-1+12\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+12n⋮6\)

1) \(Có:2^n-2n-1=2\left(2^{n-1}-1\right)-1>0\forall n\ge3\)

nên : \(2^n>2n+1\)

Số lớn nhất có 6 chữ số mà chia hết cho 5 là : 999995

Số bé nhất có 6 chữ số mà chia hết cho 5 là: 100000

Các số chia hết cho 5 thì có chứ số tận cùng là: 0;5 và các số này cách nhau 5 đơn vi

=> Có số số hạng có 6 chữ số mà chia hết cho 5 là:

\(\frac{999995-100000}{5}+1=180000\left(số\right)\)

Gọi số đó là \(\overline{abcdef}\)

a có 9 cách chọn, các chữ số b, c, d, e mỗi chữ số có 10 cách chọn

Do số đã cho lẻ nên \(f\) có 5 cách chọn (1;3;5;7;9)

Vậy tổng cộng có: \(9.10.10.10.10.5=450000\) số

Nếu số cuối bằng 0 \(\Rightarrow\) 5 chữ số còn lại có \(A_6^5\) cách chọn và hoán vị

Nếu số cuối khác 0 \(\Rightarrow\) số cuối có 3 cách chọn, số đầu có 5 cách, 4 số còn lại có \(A_5^4\) cách \(\Rightarrow\) có \(3.5.A_5^4\) cách

Tổng cộng có \(A_6^5+3.5.A_5^4\) số thỏa mãn

1.

Các bộ 3 số có tổng chia hết cho 9:

\(\left(1;2;6\right);\left(1;3;5\right);\left(2;3;4\right)\Rightarrow\) có \(3.3!=18\) số thỏa mãn

2.

Số số thỏa mãn: \(\frac{999999-100002}{3}+1=300000\) số

b) TH1: Nếu chọn chữ số 5 làm chữ số hàng đơn vị

Có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn

Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm

Có 7 cách chọn chữ số hàng chục

-> Có 8.8.7.1=448 số

TH2: Nếu chọn chữ số 0 làm hàng đơn vị

Có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn

Có 8 cách chọn chữ số hàng trăm

Có 7 cách chọn chữ số hàng chục

-> Có 9.8.7.1=504 số

=> Có tất cả 448+504=952 số thỏa mãn đề bài

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, ta có S_k = (k³ + 3k² + 5k) 3

Ta phải chứng minh rằng S_k+1 3

Thật vậy S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S_k 3, mặt khác 3(k² + 3k + 3) 3 nên S_k+1 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) 3 với mọi n ε N^{* .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1

Với n = 1, S₁ = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S₁ 9

Giả sử với n = k ≥ 1 thì S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Ta phải chứng minh S_k+1 9.

Thật vậy, ta có: S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì Sk 9 nên 4S₁ 9, mặt khác 9(5k - 2) 9, nên S_k+1 9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1) 9 với mọi n ε N^*

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1, ta có S₁ = 1³ + 11n = 12 nên S₁ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 ,ta có S_k = k³ + 11k 6

Ta phải chứng minh S_k+1 6

Thật vậy, ta có S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4)

THeo giả thiết quy nạp thì Sk 6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4) 6, do đó S_k+1 6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}

a) Với n = 1, ta có:

13ⁿ – 1 = 13¹ – 1 = 12 ⋮ 6

Giả sử: 13^k - 1 ⋮ 6 với mọi k ≥ 1

Ta chứng minh: 13^k+1 – 1 chia hết cho 6

Thật vậy:

13^k+1 – 1 = 13^k+1 – 13^k+ 13^k -1 = 12.13^k +13^k – 1

Vì : 12.13^k ⋮ 6 và 13^k – 1 ⋮ 6

Nên : 13^k+1 – 1 ⋮ 6

Vậy 13ⁿ -1 chia hết cho 6

b) Với n = 1, ta có: 3n³ + 15n = 18 ⋮ 9

Giả sử: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) Ta chứng minh: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Thật vậy:

3(k + 1)³ + 15(k + 1) = 3. (k³ + 3k² + 3k + 1) + 15(k + 1)

= 3k³ + 9k² + 9k + 15k + 18

= 3k³ + 15k + 9(k² + k + 2)

Vì 3(k + 1)³ + 15(k + 1) (giả thiết quy nạp) và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

Nên: 3(k + 1)³ + 15(k + 1) ⋮ 9

Vậy: 3n³ + 15n chia hết cho 9 với mọi n ∈ N^*