=\(\sqrt{2-x}\) + x.\(\frac{-1}{2.\sqrt{2-x}}\)

\(y=x\sqrt{2-x}=\sqrt{2x^2-x^3}\)

\(y^2=2x^2-x^3\)

\(2y=4x-3x^2\)

\(y'=\dfrac{4x-3x^2}{2y}=\dfrac{4x-3x^2}{2x\sqrt{2-x}}=\dfrac{4-3x}{2\sqrt{2-x}}\)

Lời giải:

Theo định nghĩa về giới hạn thì khi \(\lim_{x\to -\infty}f(x)=2; \lim_{x\to -\infty}g(x)=3\) thì \(\lim_{x\to -\infty}[f(x)-2]=0; \lim_{x\to -\infty}[g(x)-3]=0\)

Khi đó, theo định nghĩa về giới hạn 0 thì với mọi số \(\epsilon >0\) ta tìm được tương ứng $n_1,n_2$ sao cho:

\(\left\{\begin{matrix} |f(x)-2|<\frac{\epsilon}{2}\forall n>n_1\\ |g(x)-3|< \frac{\epsilon}{2}\forall n>n_2\end{matrix}\right.\)

Gọi \(n_0=\max (n_1,n_2)\)

\(\Rightarrow |f(x)-2+g(x)-3|< |f(x)-2|+|g(x)-3|< \frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon \) \(\forall n>n_0\)

Điều này chứng tỏ \(f(x)-2+g(x)-3=f(x)+g(x)-5\) có giới hạn 0

\(\Rightarrow \lim_{x\to -\infty}[f(x)+g(x)]=5\)

\(sina+sinb+sinc+3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sina+1\right)+\left(sinb+1\right)+\left(sinc+1\right)=0\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}sina\ge-1\\sinb\ge-1\\sinc\ge-1\end{matrix}\right.\) ;\(\forall a;b;c\)

\(\Rightarrow\left(sina+1\right)+\left(sinb+1\right)+\left(sinc+1\right)\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(sina=sinb=sinc=-1\)

\(\Rightarrow cosa=cosb=cosc=0\Rightarrow cosa+cosb+cosc+10=10\)

b/ \(sinx=1-sin^2x\Rightarrow sinx=cos^2x\)

\(\Rightarrow sin^2x=cos^4x\Rightarrow1-cos^2x=cos^4x\)

\(\Rightarrow cos^4x+cos^2x=1\Rightarrow\left(cos^4x+cos^2x\right)^2=1\)

\(\Rightarrow cos^8x+2cos^6x+cos^4x=1\)

Dạng toán tích phân, khá khó f(x)= F(x) + C

Mọi người không thích giúp đỡ, chỉ muốn lấy điểm, web học hiểu toán lại biến thành tựu trò chơi. 

Đúng là mất thời gian, luống công mà.

Lời giải:
\(\lim_{x\to +\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=\lim_{x\to +\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}\)

\(=\sqrt{1}=1\)

g(2)=\(\frac{2^2-2\cdot2+5}{2-1}=5\)

g'(x)= \(\frac{\left(x^2-2x+5\right)'\left(x-1\right)-\left(x-1\right)'\left(x^2-2x+5\right)}{\left(x-1\right)^2}\)

       = \(\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+5\right)}{\left(x-1\right)^2}\)

        = \(\frac{x^2-2x-3}{\left(x-1\right)^2}\)

   g(2) = \(\frac{2^2-2.2-3}{\left(2-1\right)^2}\)=-3