a: Để phương trình có nghiệm thì \(1^2+\left(-1\right)^2\ge m^2\)

=>\(m^2\le2\)

=>\(-\sqrt2\le m\le\sqrt2\)

b: Để phương trình có nghiệm thì \(1^2+\left(-2m+1\right)^2\ge\left(m+2\right)^2\)

=>\(4m^2-4m+1+1\ge m^2+4m+4\)

=>\(3m^2-8m-2\ge0\)

=>\(m^2-\frac83m-\frac23\ge0\)

=>\(m^2-2\cdot m\cdot\frac43+\frac{16}{9}-\frac{16}{9}-\frac23\ge0\)

=>\(\left(m-\frac43\right)^2\ge\frac{16}{9}+\frac23=\frac{22}{9}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}m-\frac43\ge\frac{\sqrt{22}}{3}\\ m-\frac43\le-\frac{\sqrt{22}}{3}\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m\ge\frac{\sqrt{22}+4}{3}\\ m\le\frac{4-\sqrt{22}}{3}\end{array}\right.\)

3.

Theo điều kiện của pt lượng giác bậc nhất:

\(m^2+\left(3m+1\right)^2\ge\left(1-2m\right)^2\)

\(\Leftrightarrow10m^2+6m+1\ge4m^2-4m+1\)

\(\Leftrightarrow3m^2+5m\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge0\\m\le-\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

4.

\(\Leftrightarrow1-sin^2x-\left(m^2-3\right)sinx+2m^2-3=0\)

\(\Leftrightarrow-sin^2x-m^2sinx+2m^2+3sinx-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(-sin^2x+3sinx-2\right)+m^2\left(2-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(sinx-1\right)\left(2-sinx\right)+m^2\left(2-sinx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2-sinx\right)\left(sinx-1+m^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow sinx=1-m^2\)

\(\Rightarrow-1\le1-m^2\le1\)

\(\Rightarrow m^2\le2\Rightarrow-\sqrt{2}\le m\le\sqrt{2}\)

1.

Bạn xem lại đề, \(sin^2x\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)\) là sao nhỉ?Có cả x trong lẫn ngoài ngoặc?

2.

ĐKXĐ: \(sinx\ne0\)

\(\left(2sinx-cosx\right)\left(1+cosx\right)=sin^2x\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-cosx\right)\left(1+cosx\right)=1-cos^2x\)

\(\Leftrightarrow\left(2sinx-cosx\right)\left(1+cosx\right)-\left(1+cosx\right)\left(1-cosx\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1+cosx\right)\left(2sinx-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}cosx=-1\\sinx=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pi+k2\pi\\x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

(cosx-1)(sin x+m)=0

=>cosx=1 hoặc sin x=-m

TH1: cosx =1

=>\(x=k2\pi\)

mà \(x\in\left\lbrack0;\pi\right\rbrack\)

nên x=0

Để phương trình có đúng hai nghiệm nằm trong khoảng [0;π] thì sin x=-m có duy nhất 1 nghiệm nằm trong khoảng [0;π]

=>\(\begin{cases}-1\le-m\le1\\ \arcsin\left(-m\right)+k2\pi=\pi-\arcsin\left(-m\right)+k2\pi\end{cases}\)

=>\(\left[\begin{array}{l}-1\le m\le1\\ 2\cdot\arcsin\left(-m\right)=\pi\end{array}\right.\Rightarrow\arcsin\left(-m\right)=\frac{\pi}{2}\)

=>-m=1

=>m=-1

1.

Theo điều kiện có nghiệm của pt lượng giác bậc nhất:

\(\left(m+1\right)^2+\left(-3\right)^2\ge m^2\)

\(\Leftrightarrow...\)

2.

\(\Leftrightarrow3\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x\right)+4m.sin2x-4=0\)

\(\Leftrightarrow8m.sin2x-3cos2x=5\)

Pt vô nghiệm khi: \(\left(8m\right)^2+\left(-3\right)^2< 5^2\)

\(\Leftrightarrow...\)

1.

\(\Leftrightarrow1-2sin^2x+sinx+m=0\)

\(\Leftrightarrow2sin^2x-sinx-1=m\)

Đặt \(sinx=t\Rightarrow t\in\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=2t^2-t-1\) trên \(\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{4}\in\left[-\dfrac{1}{2};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right]\)

\(f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0\) ; \(f\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{9}{8}\) ; \(f\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{9}{8}\le f\left(t\right)\le0\Rightarrow-\dfrac{9}{8}\le m\le0\)

Có 2 giá trị nguyên của m (nếu đáp án là 3 thì đáp án sai)

2.

ĐKXĐ: \(sin2x\ne1\Rightarrow x\ne\dfrac{\pi}{4}\) (chỉ quan tâm trong khoảng xét)

Pt tương đương:

\(\left(tan^2x+cot^2x+2\right)-\left(tanx+cotx\right)-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(tanx+cotx\right)^2+\left(tanx+cotx\right)-4=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}tanx+cotx=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\\tanx+cotx=\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Nghiệm xấu quá, kiểm tra lại đề chỗ \(-tanx+...-cotx\) có thể 1 trong 2 cái đằng trước phải là dấu "+"

\(msinx+\sqrt{3}cosx=m+1\)

Phương trình có nghiệm\(\Leftrightarrow\) \(m^2+\left(\sqrt{3}\right)^2\ge\left(m+1\right)^2\)

                                        \(\Rightarrow3\ge2m+1\Rightarrow m\le1\)

Vậy pt vô nghiệm\(\Leftrightarrow m>1\)