-20x³

Làm xong rồi nhấn gửi thì lỗi, làm lại từ đầu nên chỉ làm 2 câu thôi, 2 câu sau bạn tự làm tương tự:

a/ \(\sum\limits^8_{k=0}C_8^kx^{2k}\left(1-x\right)^k=\sum\limits^8_{k=0}\sum\limits^k_{i=0}C_8^kC_k^i\left(-1\right)^ix^{2k+i}\)

Số hạng chứa \(x^8\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2k+i=8\\0\le i\le k\le8\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;4\right);\left(2;3\right)\)

Hệ số: \(C_8^4C_4^0.\left(-1\right)^0+C_8^3C_3^2.\left(-1\right)^2\)

b/ \(1+x+x^2+x^3=\left(1+x\right)\left(1+x^2\right)\)

\(\Rightarrow\left(1+x+x^2+x^3\right)^{10}=\left(1+x\right)^{10}\left(1+x^2\right)^{10}\)

\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^kx^k\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^ix^{2i}=\sum\limits^{10}_{k=0}\sum\limits^{10}_{i=0}C_{10}^kC_{10}^ix^{2i+k}\)

Số hạng chứa \(x^5\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}2i+k=5\\0\le k\le10\\0\le i\le10\\i;k\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(i;k\right)=\left(0;5\right);\left(1;3\right);\left(2;1\right)\)

Hệ số: \(C_{10}^0C_{10}^5+C_{10}^1C_{10}^3+C_{10}^2C_{10}^1\)

\(\left(x^{-4}+x^{\frac{5}{2}}\right)^{12}\) có SHTQ: \(C_{12}^kx^{-4k}.x^{\frac{5}{2}\left(12-k\right)}=C^k_{12}x^{30-\frac{13}{2}k}\)

Số hạng chứa \(x^8\Rightarrow30-\frac{13}{2}k=8\Rightarrow\) ko có k nguyên thỏa mãn

Vậy trong khai triển trên ko có số hạng chứa \(x^8\)

b/ \(\left(1-x^2+x^4\right)^{16}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}k_0+k_2+k_4=16\\2k_2+4k_4=16\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(k_0;k_2;k_4\right)=\left(8;8;0\right);\left(9;6;1\right);\left(10;4;2\right);\left(11;2;3\right);\left(12;0;4\right)\)

Hệ số của số hạng chứa \(x^{16}\):

\(\frac{16!}{8!.8!}+\frac{16!}{9!.6!}+\frac{16!}{10!.4!.2!}+\frac{16!}{11!.2!.3!}+\frac{16!}{12!.4!}=...\)

c/ SHTQ của khai triển \(\left(1-2x\right)^5\) là \(C_5^k\left(-2\right)^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^4\) có hệ số: \(C_5^4.\left(-2\right)^4\)

SHTQ của khai triển \(\left(1+3x\right)^{10}\) là: \(C_{10}^k3^kx^k\)

Số hạng chứa \(x^3\) có hệ số \(C_{10}^33^3\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của số hạng chứa \(x^5\) là: \(C_5^4\left(-2\right)^4+C_{10}^3.3^3\)

\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left(x+2\right)^n\left(x^2+2\right)^n\)

SHTQ \(C_n^k.x^{n-k}.2^k.C_n^i.\left(x^2\right)^{n-i}.2^i=C_n^k.C_n^i.2^{i+k}.x^{3n-k-2i}\)

\(x^{3n-3}\Leftrightarrow3n-3=3n-k-2i\Leftrightarrow k+2i=3\)

mà k,i\(\in N\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}k=3;i=0\\k=1;i=1\end{matrix}\right.\)

mà hệ số \(=?????\)

\(\Leftrightarrow C_n^1.C_n^1.2^{1+1}+C^3_n.C_n^0.2^3=??????\)

bấm máy giải tìm đc n

\(\left(x^3+2x^2+x+2\right)^n=\left[x^2\left(x+2\right)+\left(x+2\right)\right]^n=\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n\)

Áp dụng khai triển nhị thức Newton:

\(\left(1+x^2\right)^n.\left(2+x\right)^n=\sum\limits^n_{k=0}C_n^kx^{2n-2k}.\sum\limits^n_{l=0}C_n^l.2^l.x^{n-l}=\sum\limits^n_{k=0}\sum\limits^n_{l=0}C_n^k.C_n^l.2^l.x^{3n-2k-l}\)

\(3n-3=3n-2k-l\Rightarrow2k+l=3\Rightarrow\left(k;l\right)=\left\{\left(0;3\right),\left(1;1\right)\right\}\)

\(\Rightarrow\) Hệ số của \(x^{3n-3}\) là:

\(C_n^0.C_n^3.2^3+C_n^1.C_n^1.2^1=\dfrac{18683.n}{3}\Leftrightarrow\dfrac{n!.8}{\left(n-3\right)!3!}+2n^2=\dfrac{18683.n}{3}\)

\(\Leftrightarrow4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18683n=0\)

\(\Leftrightarrow4n^3-6n^2-18675n=0\)

\(\Rightarrow n=0\) (loại) \(\Rightarrow\) Bạn chép đề sai

Sau khi thử lại, nếu hệ số đã cho không phải \(\dfrac{18683n}{3}\) mà là \(\dfrac{18638n}{3}\) (đổi thứ tự hàng chục và đơn vị ở tử số), thì pt trên trở thành:

\(4n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+6n^2-18638n=0\)

\(\Leftrightarrow4n^3-6n-18630n=0\)

\(\Rightarrow n=0\) (loại) hoặc \(n=69\) (nhận), ko cần quan tâm nghiệm ko nguyên.

Kết luận: bạn ghi sai số liệu.

ta có : \(\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{3}{x}\right)^{12}=\sum\limits^{12}_{k=0}C^k_{12}\left(\dfrac{x}{3}\right)^{12-k}.\left(-1\right)^k\left(\dfrac{3}{x}\right)^k\)

\(=\sum\limits^{12}_{k=0}C^k_{12}\left(-1\right)^k\dfrac{\left(x\right)^{12-2k}}{3^{12-2k}}\)

\(\Rightarrow\) để có số hạng chứa \(x^4\) thì \(12-2k=4\Leftrightarrow k=4\)

\(\Rightarrow\) hệ số của số hạng chứa \(x^4\) là : \(\dfrac{C^4_{12}\left(-1\right)^4}{3^4}=\dfrac{55}{9}\)

vậy ............................................................................................................