1 . Cho tam giác ABC cân tại A . H là trung điểm của BC .
a ) Chứng minh : tg AHB = TG AHC
b ) Qua H kẻ đường thẳng song song AB cắt AC tại K . CM : ^KAH = ^KHA và tg KHC cân
c ) BK cắt AH tại G cho AB = 10 cm , AH = 6cm . Tính độ dài AG và HK
d ) CM 2 (AH+BK)> 3AB
giải giúp mình câu d ạ , giải chi tiết hộ mình ạ !!
2 .
Cho tam giác ABC. Ở Phía ngoài tam giác đó vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD và ACE.
a, CM: CD=BE và CD vuông góc với BE.
b, Kẻ đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC tại H. CM: Đường thẳng AH đi qua trung điểm của DE.
c, Lấy điểm K nằm trong tam giác ABD sao cho ABK bằng 30 độ, BA=BK. CM: AK=KD.
1) d) Ta có: \(\Delta\)KHC cân tại H
=> HK = CK
=> AB = AC = 2Ck = 2HK
=> AB = 2 HK
Ta có:
Qua H kẻ đường thẳng // với HA cắt AB tại T
Xét \(\Delta\)KHA và \(\Delta\)ATK có:
AK chung
^HKA = ^TAK ( so le trong )
^HAK = ^TKA ( so le trong )
=> \(\Delta\)KHA = \(\Delta\)ATK
=> AT = HK và KT = HA
=> AB = 2HK = 2AT
Khi đó: AH + BK = KT + BK > BT = AB + AT
=> 2 ( AH + BK ) > 2 AB + 2AT = 2AB + AB = 3AB
Vậy 2 ( AH + BK) > 3AB
2) M I D E A P Q B C H
a)
AD = AB ( \(\Delta\)ADB cân tại A )
AC = AE ( \(\Delta\)ACE cân tại E)
^DAC = ^BAE ( vì ^DAC = ^DAB + ^BAC = 90o + ^BAC ; ^BAE = ^BAC + ^CAE = ^BAC + 90o )
=> \(\Delta\)ADC = \(\Delta\)ABE (1)
=> CD = EB
(1) => ^ADC = ^ABE => ^ADP = ^PBQ (2)
Xét \(\Delta\)APD và \(\Delta\)PQB
có: ^APD + ^ADP + ^PAD = ^PQB + ^PBQ + ^QPB = 180 độ ( tổng 3 góc trong 1 tam giác )
mà ^ADP = ^PBQ (theo (2)) ; ^APD = ^QPB ( đối đỉnh)
=> ^PQB = ^PAD = ^BAD = 90 độ ( \(\Delta\)ABD vuông )
=> DC vuông BE
b) Trên mặt phẳng bờ DE không chứa A, qua D kẻ tia Dx // AE. Trên Dx lấy điểm M sao cho DM = AE
Gọi giao điểm của DE và MA là I
Dễ dàng chứng minh được: \(\Delta\)DIM = \(\Delta\)EIA (3)
=> DM = AE = AC
Lại có: ^MDA + ^DAE = ^MDE + ^EDA + ^DAE = ^DEA + ^EDA + ^DAE = 180 độ
mà ^DAE + ^BAC = 180 độ
=> ^MDA = ^BAC
Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DAM có: AB = DA ; AC = DM ; ^BAC = ^ADM
=> \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)DAM
=> ^DAM = ^ABC
=> ^DAM + ^DAB + ^BAH = ^ABC + 90o + ^BAH = 180 độ
=> M; I; A; H thẳng hàng
=> AH cắt DE tại I
(3) => ID = IE => I là trung điểm của DE
Do vậy AH đi qua trung điểm của DE
2, c)
A B D K N
Trên mặt phẳng bờ AB chứa D lấy điểm N sao cho \(\Delta\)ANB đều
=> BK = AB = BN
và ^DBN = ^ABN - ^ABD = 60o - 45o = 15o ( vì \(\Delta\)ABD vuông cân => ^ABD = 45 độ )
Ta có: ^ABD = 45o mà ^ABK = 30o
=> ^DBK = ^ABD - ^ABK = 15o
Xét \(\Delta\)KBD và \(\Delta\)NBD
có: BN = BK ( chứng minh trên )
^DBK = ^DBN ( = 15 độ )
BD chung
=> \(\Delta\)KBD = \(\Delta\)NBD
=> ND = KD ( 4)
Xét \(\Delta\)BAK và \(\Delta\)DAN có:
BA = BK = AN = AD
^ABK = ^DAN = 30 độ ( vì ^DAN = ^DAB - ^NAB = 90 độ - 60 độ = 30 độ )
=> \(\Delta\)BAK = \(\Delta\)DAN
=> AK = DN ( 5)
Từ (4) ; (5) => AK = KD
A B C H K G
làm nốt bài cố chi
bài 1
a) XÉT \(\Delta AHB\)VÀ\(\Delta AHC\)CÓ
\(AB=AC\left(GT\right)\)
\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(GT\right)\)
\(HB=HC\left(GT\right)\)
=>\(\Delta AHB\)=\(\Delta AHC\)(C-G-C)
b) vì \(HK//AB\left(GT\right)\)
=>\(\widehat{BAH}=\widehat{AHK}\left(1\right)\)( SO LE TRONG)
VÌ \(\Delta AHB\)=\(\Delta AHC\)(CMT)
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}\left(2\right)\)
TỪ (1) VÀ (2)
\(\Rightarrow\widehat{AHK}=\widehat{CAH}\)
HAY \(\widehat{AHK}=\widehat{HAK}\)(ĐPCM)
ta có \(\widehat{AHK}=\widehat{HAK}\)(CMT)
=> \(\Delta AHK\)CÂN TẠI K
=> \(AK=KH\)
VÌ \(\Delta ABC\)CÂN
MÀ AH LÀ TRUNG TUYẾN CỦA \(\Delta ABC\)
=> AH CŨNG LÀ ĐƯỜNG CAO CỦA \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow\widehat{AHC}=90^o\)
=> \(\Delta AHC\)VUÔNG TẠI H
XÉT \(\Delta AHC\)VUÔNG TẠI H
CÓ AK = KH (CMT)
MÀ CẠNH AK NẰM TRONG \(\Delta AHC\)
=> AK LÀ TRUNG TUYẾN CỦA\(\Delta AHC\)
=> KH = KC
=> \(\Delta KHC\)CÂN TẠI K