Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\).
Ta chứng minh \(n\) là số nguyên tố.
Thật vậy, giả sử \(n\) là hợp số, khi đó \(n=a\cdot b\) với \(a,b>1\).
Ta có:
\(2^n-1=2^{ab}-1=(2^a)^b-1\)
\(=(2^a-1)[(2^a)^{b-1}+\cdots+2^a+1]\).
Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.
Vậy \(n\) là số nguyên tố.
Do \(n>2\) nên \(n\) là số nguyên tố lẻ.
Suy ra \(n\) có dạng \(n=2k+1\), với \(k\geq1\).
Ta có:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1\).
Vì \(2\equiv -1\pmod3\) nên \(2^n+1\) chia hết cho 3 (do \(n\) lẻ).
Mà \(2^n+1>3\) nên \(2^n+1\) là hợp số.
Vậy \(2^n+1\) là hợp số.
2.
Vì \(p+2014k\) và \(p+2015k\) đều là số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng đều là số lẻ.
Ta có:
\((p+2015k)-(p+2014k)=k\).
Suy ra \(k\) là số chẵn, hay \(k\) chia hết cho 2.
Mặt khác, vì \(p\) chia cho 3 dư 1 nên \(p\equiv1\pmod3\).
Ta có:
- \(2014\) chia cho 3 dư 1.
- \(2015\) chia cho 3 dư 2.
Giả sử \(k\) không chia hết cho 3.
Khi đó, \(k\) chia cho 3 dư 1 hoặc dư 2.
- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 1 thì \(p+2015k\) chia hết cho 3.
- Nếu \(k\) chia cho 3 dư 2 thì \(p+2014k\) chia hết cho 3.
Điều này vô lý vì cả hai số đều là số nguyên tố lớn hơn 3.
Vậy \(k\) chia hết cho 3.
Mà \(k\) chia hết cho 2 và chia hết cho 3 nên \(k\) chia hết cho 6.
Vậy \(k\) chia hết cho 6. \(\square\)
1.
$4-n\vdots n+1$
$\Rightarrow 5-(n+1)\vdots n+1$
$\Rightarrow 5\vdots n+1$
$\Rightarrow n+1\in \left\{1; 5\right\}$
$\Rightarrow n\in \left\{0; 4\right\}$
2.
Nếu $n$ chẵn $\Rightarrow n+6$ chẵn.
$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ chẵn $\Rightarrow (n+3)(n+6)\vdots 2$
Nếu $n$ lẻ $\Rightarrow n+3$ chẵn.
$\Rightarrow (n+3)(n+6)$ chẵn $\Rightarrow (n+3)(n+6)\vdots 2$
K MIK NHA BN !!!!!!
B1 :Ta biết bình phương của một số nguyên chia cho 3 dư 0 hoặc 1
đơn giản vì n chia 3 dư 0 hoặc ±1 => n² chia 3 dư 0 hoặc 1
* nếu p = 3 => 8p+1 = 8.3 + 1 = 25 là hợp số
* xét p nguyên tố khác 3 => 8p không chia hết cho 3
=> (8p)² chia 3 dư 1 => (8p)² - 1 chia hết cho 3
=> (8p-1)(8p+1) chia hết cho 3
Vì gt có 1 số là nguyên tố nến số còn lại chia hết cho 3, rõ ràng không có số nào là 3 => số này là hợp số
B2:Xét k = 0 thì được dãy số {1 ; 2 ; 10} có 1 số nguyên tố (1)
* Xét k = 1
ta được dãy số {2 ; 3 ; 11} có 3 số nguyên tố (2)
* Xét k lẻ mà k > 1
Vì k lẻ nên k + 1 > 2 và k + 1 chẵn
=> k + 1 là hợp số
=> Dãy số không có nhiều hơn 2 số nguyên tố (3)
* Xét k chẵn , khi đó k >= 2
Suy ra k + 2; k + 10 đều lớn hơn 2 và đều là các số chẵn
=> k + 2 và k + 10 là hợp số
=> Dãy số không có nhiều hơn 1 số nguyên tố (4)
So sánh các kết quả (1)(2)(3)(4), ta kết luận với k = 1 thì dãy có nhiều số nguyên tố nhất
B3:Số 36=(2^2).(3^2)
Số này có 9 ước là:1;2;3;4;6;9;12;18;36
Số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước là số 12.
Cho tập hợp ước của 12 là B.
B={1;2;3;4;6;12}
K MIK NHA BN !!!!!!
Cho \(p\) là số nguyên tố và \(8p-1,\ 8p+1\) là các số nguyên tố. Hỏi số thứ ba là số nguyên tố hay hợp số?
Giải:
Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(p\geq2\).
Suy ra \(8p\geq16\) và \(8p=8\cdot p\).
Do \(8>1,\ p>1\) nên \(8p\) là hợp số.
Vậy số thứ ba \(8p\) là hợp số.
_C1_
Tìm số tự nhiên a,biết rằng 398 chia a dư 38,còn 450 chia a dư 18
_C2_
Chứng minh rằng,các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a,hai số lẻ liên tiếp
b,2n+5 và 3n+7
_C3_
a,Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3.Chứng minh rằng:(a-1)x(a+4) chia hết cho 6
b,Chứng minh rằng,tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24
_C4_
ƯCLN(ước chung lớn nhất) của 2 số tự nhiên bằng 4.Số tự nhiên nhỏ là 8.Tìm số lớn
_C5_
Tìm n,sao cho:
a, n+4 chia hết cho n+1
b, n2+4 chia hết cho n+2
_Làm được bài nào thì làm,vậy thôi_
ban lam duoc het sao ban tra loi thu xem bai nay nhieu qua ban tra loi xong minh tra loi nho tra loi dung do
Ta có:
\(398\) chia \(a\) dư \(38\) nên \(398-38=360\) chia hết cho \(a\).
Suy ra \(360\) chia hết cho \(a\).
\(450\) chia \(a\) dư \(18\) nên \(450-18=432\) chia hết cho \(a\).
Suy ra \(432\) chia hết cho \(a\).
Vậy \(a\) là ước chung của \(360\) và \(432\).
Ta có:
\(360=2^3\cdot 3^2\cdot 5\)
\(432=2^4\cdot 3^3\)
Suy ra \(\text{ƯCLN}(360,432)=2^3\cdot 3^2=72\).
Do đó \(a\) là ước của \(72\).
Mặt khác, số dư phải nhỏ hơn số chia nên \(a>38\).
Các ước của \(72\) lớn hơn \(38\) là \(72\).
Vậy \(a=72\).
1
gọi số cần tìm là p.dễ thấy p lẻ
=>p=a+2 và p=b-2
=>a=p-2 và b=p+2
vì p-2,p,p+2 là 3 số lẻ liên tiếp nên có một số chia hết cho 3
với p-2=3=>p=5=7-2(chọn)
p=3=>p=1+2(loại)
p+2=3=>p=1(loại)
vậy p=5
2
vì p1, p2, p3 là 3 số nguyên tố (SNT) > 3
theo giả thiết:
p3 = p2 + d = p1 + 2d (*)
=> d = p3 - p2 là số chẵn ( vì p3, p2 lẻ)
đặt d = 2m, xét các trường hợp:
* m = 3k => d chia hết cho 6
* m = 3k + 1: khi đó 3 số là:
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 2
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 4
do p1 là SNT > 3 nên p1 chia 3 dư 1 hoặc 2
nếu p1 chia 3 dư 1 => p2 = p1 + 6k + 2 chia hết cho 3 => p2 là hợp số (không thỏa gt)
nếu p1 chia 3 dư 2 => p3 = p1 + 12k + 4 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (---nt--)
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 1
* m = 3k + 2, khi đó 3 số là:
p2 = p1 + d = p1 + 2m = p1 + 6k + 4
p3 = p1 + 2d = p1 + 4m = p1 + 12k + 8
nếu p1 chia 3 dư 1 => p3 = p1 + 12k + 8 chia hết cho 3 => p3 là hợp số (không thỏa gt)
nếu p 1 chia 3 dư 2 => p2 = p1 + 6k + 4 chia hết cho 3 => p2 là hợp số ( không thỏa gt)
=> p1, p2 , p3 là SNT khi m ≠ 3k + 2
vậy để p1, p 2, p 3 đồng thời là 3 SNT thì m = 3k => d = 2m = 6k chia hết cho 6.
3
ta có p,p+1,p+2 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.
mà p,p+2 là SNT >3 nên p,p+2 ko chia hết cho 3 và là số lẻ
=>p+1 chia hết cho 3 và p+1 chẵn=>p+1 chia hết cho 6
4
vì p là SNT >3=>p=3k+1 hoặc p=3k+2
với p=3k+1=>p+8=3k+9 chia hết cho 3
với p=3k+2=>p+4=3k+6 ko phải là SNT
vậy p+8 là hợp số
5
vì 8p-1 là SNt nên p>3=>8p ko chia hết cho 3
vì 8p,8p+1,8p-1 là 3 số liên tiếp nên 1 trong 3 số chia hết cho 3.mà 8p,8p-1 là SNT >3=>8p+1 chia hết cho 3 và 8p+1>3
=>8p+1 là hợp số
6.
Ta có: Xét:
+n=0=>n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15n+1=1;n+3=3;n+7=7;n+9=9;n+13=13;n+15=15(hợp số,loại)
+n=1
=>n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16n+1=2;n+3=4;n+7=8;n+9=10;n+13=14;n+15=16(hợp số,loại)
+n=2
=>n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17n+1=3;n+3=5;n+7=9;n+9=11;n+13=15;n+15=17(hợp số,loại)
+n=3
=>n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18n+1=4;n+3=6;n+7=10;n+9=12;n+13=16;n+15=18(hợp số,loại)
+n=4
n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19n+1=5;n+3=7;n+7=11;n+9=13;n+13=17;n+15=19(SNT,chọn)
Nếu n>4 sẽ có dạng 4k+1;4k+2;4k+3
+n=4k+1
⇔n+3=4k+1+3=4k+4⇔n+3=4k+1+3=4k+4(hợp số,loại)
+n=4k+2
=>n+13=4k+2+13=4k+15n+13=4k+2+13=4k+15(hợp số,loại)
+n=4k+3
=>n+3=4k+3+3=4k+6n+3=4k+3+3=4k+6(hợp số,loại)
⇔n=4
4.vì p là số nguyên tố >3
nên p có dạng 3k+1;3k+2
xét p=3k+1 ta có :p+4=(3k+1)+4=3k+5(thỏa mãn)
xét p=3k+2 ta có: p+4=(3k+2)+4=3k+6 chia hết cho 3(trái với đề bài)
vậy p+8=(3k+1)+8=3k+9 chia hết cho 3
Vậy p+8 là hợp số
a: \(9^{2n}-1=\left(9^2\right)^{n}-1\)
\(=81^{n}-1=\left(81-1\right)\left(81^{n-1}+81^{n-2}+\cdots+1\right)\)
\(=80\left(81^{n-1}+81^{n-2}+\cdots+1\right)\) ⋮10
=>\(9^{2n}-1\) chia hết cho cả 2 và 5
b: p là số nguyên tố lớn hơn 3
=>p=3k+1 hoặc p=3k+2
p=3k+1
=>2p+1=2(3k+1)+1
=6k+2+1
=6k+3=3(2k+1)⋮3
=>Loại
=>p=3k+2
4p+1
=4(3k+2)+1
=12k+8+1
=12k+9=3(4k+3)⋮3
=>4p+1 là hợp số
3) CM:p+1 chia hết cho 2
vì p lớn hơn 3 suy ra p là số lẻ và p+1 là số chẵn.
Vậy p+1 chia hết cho 2
CM:p+1 chia hết cho 3
Ta có:p x (p+1) x (p+2) chia hết cho 3(vì tích 3 số liên tiếp luôn chia hết cho 3)
Mà p và p+2 là số nguyên tố nên p và p+2 ko chia hết cho 3
Vậy p+1 chia hết cho 3
Mà ƯCLN(2,3) là 1
Vậy p+1 chia hết cho 2x3 là 6
Vậy p+1 chia hết cho 6 với mọi p lớn hơn 3 và p+2 cùng là số nguyên tố.
Cho số tự nhiên \(n>2\). Biết \(2^n-1\) là số nguyên tố. Chứng minh \(2^n+1\) là hợp số.
Chứng minh:
Vì \(2^n-1\) là số nguyên tố và \(n>2\) nên \(n\) không thể là số chẵn.
Thật vậy, nếu \(n\) chẵn thì \(n=2k\) (\(k>1\)).
Khi đó:
\(2^n-1=2^{2k}-1=(2^k-1)(2^k+1)\)
Suy ra \(2^n-1\) là hợp số, trái với giả thiết.
Vậy \(n\) là số lẻ.
Đặt \(n=2k+1\) (\(k\geq1\)).
Ta có:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1=2(2^{2k})+1\).
Cách phân tích phù hợp là:
\(2^n+1=2^{2k+1}+1\), không có nhân tử chung đơn giản theo dạng trên. Tuy nhiên, vì \(n\) lẻ, ta có:
\(2^n+1\) không nhất thiết là hợp số.
Lưu ý: Đề bài này chưa đúng. Chẳng hạn \(n=3\), ta có \(2^3-1=7\) là số nguyên tố và \(2^3+1=9\) là hợp số. Trường hợp này đúng, nhưng với \(n=5\), \(2^5-1=31\) là số nguyên tố và \(2^5+1=33\) cũng hợp số. Cần kiểm tra thêm điều kiện của đề nếu muốn chứng minh tổng quát.
Cho hai số tự nhiên \(a,b\), trong đó \(a\) là số lẻ. Chứng minh hai số \(a\) và \(ab+2^{2013}\) nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh:
Gọi \(d\) là ước chung của \(a\) và \(ab+2^{2013}\).
Vì \(d\mid a\) nên \(d\mid ab\).
Mà \(d\mid ab+2^{2013}\), suy ra:
\(d\mid (ab+2^{2013})-ab\)
Hay \(d\mid 2^{2013}\).
Do đó \(d\) vừa là ước của \(a\), vừa là ước của \(2^{2013}\).
Vì \(a\) là số lẻ nên \(a\) không có ước chung nào với \(2^{2013}\) ngoài 1.
Suy ra \(d=1\).
Vậy \(a\) và \(ab+2^{2013}\) là hai số nguyên tố cùng nhau. \(\square\)
Cho \(m,n\) là các số tự nhiên, \(m\) là số lẻ. Chứng minh \(m\) và \(mn+8\) là hai số nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh:
Gọi \(d\) là ước chung của \(m\) và \(mn+8\).
Ta có:
- \(d\mid m\) nên \(d\mid mn\).
- \(d\mid mn+8\).
Suy ra \(d\mid (mn+8)-mn\), hay \(d\mid 8\).
Vì \(m\) là số lẻ nên \(m\) không có ước chung nào với 8 ngoài 1.
Do đó \(d=1\).
Vậy \(m\) và \(mn+8\) là hai số nguyên tố cùng nhau. (ĐPCM)
Cho \(A=3^{2011}-3^{2010}+\cdots+3^3-3^2+3-1\).
Chứng minh \(A=(3^{2012}-1):4\).
Chứng minh:
Ta có:
\(A=(3^{2011}-3^{2010})+(3^{2009}-3^{2008})+\cdots+(3^3-3^2)+(3-1)\)
\(=3^{2010}(3-1)+3^{2008}(3-1)+\cdots+3^2(3-1)+(3-1)\)
\(=2(3^{2010}+3^{2008}+\cdots+3^2+1)\)
Mặt khác:
\(3^{2012}-1=(3^2)^{1006}-1\)
\(=(3^2-1)(3^{2010}+3^{2008}+\cdots+3^2+1)\)
\(=8(3^{2010}+3^{2008}+\cdots+3^2+1)\)
Suy ra:
\(A=\dfrac{3^{2012}-1}{4}\).
(ĐPCM)
Cho số \(\overline{abc}\) chia hết cho 37. Chứng minh số \(\overline{bca}\) chia hết cho 37.
Chứng minh:
Ta có:
\(\overline{abc}=100a+10b+c\)
Vì \(\overline{abc}\) chia hết cho 37 nên \(100a+10b+c\) chia hết cho 37.
Mà \(1000=999+1=37\cdot27+1\), suy ra \(1000\) chia cho 37 dư 1.
Ta có:
\(10\overline{abc}=1000a+100b+10c\)
\(=999a+(a+100b+10c)\)
\(=999a+\overline{bca}\)
Vì \(999a\) chia hết cho 37 và \(10\overline{abc}\) chia hết cho 37 nên \(\overline{bca}\) chia hết cho 37.
Vậy số \(\overline{bca}\) chia hết cho 37. (ĐPCM)