Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) \(y=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+x-5\)

b) \(y=\dfrac{2}{x}-\dfrac{4}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}-\dfrac{6}{7x^4}\)

c) \(y=\dfrac{3x^2-6x+7}{4x}\)

d) \(y=\left(\dfrac{2}{x}+3x\right)\left(\sqrt{3}-1\right)\)

e) \(y=\dfrac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\)

f) \(y=\dfrac{-x^2+7x+5}{x^2-3x}\)

Cho hàm số :

                        \(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1;x\ge0\\2x;x< 0\end{matrix}\right.\)

và các dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(\left(u_n\right)=\dfrac{1}{n},\left(v_n\right)\) với \(v_n=-\dfrac{1}{n}\)

Tính \(\lim\limits u_n,\lim\limits v_n,\lim\limits f\left(u_n\right)\) và \(\lim\limits f\left(v_n\right)\) ?

Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi x -> 0 ?

Cho các hàm số :

                \(f\left(x\right)=x^3+bx^2+cx+d\)             (C)

                \(g\left(x\right)=x^2-3x-1\)

a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left(1;-3\right);\left(-1;-3\right);f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{5}{3}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x_o=1\)

c) Giải phương trình \(f"\left(\cos t\right)=g'\left(\sin t\right)\)

d) Tìm giới hạn \(\lim\limits_{z\rightarrow0}\dfrac{f"\left(\sin5z\right)+2}{g'\left(\sin3z\right)+3}\)

Tính đạo hàm của các hàm số sau :

a) \(y=\dfrac{1+x-x^2}{1-x+x^2}\)

b) \(y=\dfrac{\left(2-x^2\right)\left(3-x^3\right)}{\left(1-x\right)^2}\)

c) \(y=\cos2x-2\sin x\)

d) \(y=\dfrac{\cos x}{2\sin^2x}\)

e) \(y=\cos^2\dfrac{x}{3}\tan\dfrac{x}{2}\)

f) \(y=\sqrt{\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)}\)

g) \(y=\cos\dfrac{x}{x+1}\)

h) \(y=\dfrac{x^2-1}{\sin3x}\)

i) \(y=3\sin^2x\cos x+\cos^2x\)

k) \(y=\sqrt{7-4x}\cot3x\)

Tính các giới hạn sau :

a) \(\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{x^2+2x-3}\)

b) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\left(1+x\right)^3-1}{x}\)

c) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x-1}{x^2-1}\)

d) \(\lim\limits_{x\rightarrow5}\dfrac{x-5}{\sqrt{x}-\sqrt{5}}\)

e) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{x-5}{\sqrt{x}+\sqrt{5}}\)

f) \(\lim\limits_{x\rightarrow-2}\dfrac{\sqrt{x^2+5}-3}{x+2}\)

g) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x+3}-2}\)

h) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{1-2x+3x^3}{x^3-9}\)

i) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{x^2}\left(\dfrac{1}{x^2+1}-1\right)\)

j) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\left(x^2-1\right)\left(1-2x\right)^5}{x^7+x+3}\)

Cho hàm số \(f\left(x\right)=\dfrac{x+2}{x^2-9}\) có đồ thị như hình trên (Hình 53)

a) Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi \(x\rightarrow-\infty\), \(x\rightarrow3^-,x\rightarrow-3^+\)

b) Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau :

* \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng \(\left(-\infty;-3\right)\)

* \(\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)\) được xét trên khoảng \(\left(-3;3\right)\)