1. Ta có: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ab}{cd},\dfrac{c}{d}=\dfrac{bc}{bd}\)

a) Mẫu chung bd > 0 ( do b > 0, d > 0 ) nên nếu \(\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\) thì ad < bc

b) Ngược lại, Nếu ad < bc thì \(\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}.\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

Ta có thể viết: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\)

2. a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\) ( 1 )

Thêm ab vào 2 vế của (1): \(ad+ab< bc+ab\)

\(a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) ( 2 )

Thêm cd vào 2 vế của (1): \(ad+cd< bc+cd\)

\(d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\Rightarrow\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\) ( 3 )

Từ (2) và (3) ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)

a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\)(b > 0, d > 0)

Nếu \(\dfrac{a}{b}\) = \(\dfrac{c}{d}\) (b > 0, d > 0) thì ad = bc.

=> Nếu \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\) thì ad < bc.

Vậy nếu \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\) thì ad < bc.

a) Ta có: \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\)

=> \(\dfrac{ad}{bd}\) < \(\dfrac{bc}{bd}\)

=> ad < bc

Vậy ad < bc

b) Ta có: ad < bc

=> \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\)

Vậy \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\)

Ta có : \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{c}{d}\) => ad < bc (1)

Thêm ab và cả hai vế của (1) :

ad + ab < bc + ab

a(b+d) < b(a+c)

=> \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{a+c}{b+d}\) (2)

Thêm cd vào hai vế của (1) :

ad + cd < bc + cd

d( a+c) < c( b+d )

=> \(\dfrac{a+c}{b+d}\) < \(\dfrac{c}{d}\) (3)

Từ (2) và (3) ta có : \(\dfrac{a}{b}\) < \(\dfrac{a+c}{b+d}\) < \(\dfrac{c}{d}\)

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{a.d}{b.d}\) và \(\dfrac{c}{d}=\dfrac{c.b}{d.b}\)

Từ trên suy ra :

Nếu ad < bc thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) \(\left(ĐPCM\right)\)

Bài 1:

Ta có:

\(\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a.d}{b.d}>\dfrac{b.c}{b.d}\left(b;d>0\right)\)

\(\Leftrightarrow ad>bc\)

Vậy ...

Bài 2:

Ta có:

\(0< a< 5< b\)

\(\Leftrightarrow a;b>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}>0\)

Mà \(a< 5< b\)

\(\Leftrightarrow a< b\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}>1\)

Vậy ...

Ta có: \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\left(b>0,d>0\right)\)

a) Giả sử: +) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) \(\Rightarrow\) \(ad=bc\) (nhân chéo)

\(\Rightarrow\) nếu \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) thì \(ad< bc.\)

b) Giả sử \(ad=bc\) \(\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\) nếu \(ad< bc\) thì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}.\)

a)\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Leftrightarrow\dfrac{a.d}{b.d}< \dfrac{c.b}{d.b}\Rightarrow ad< bc\)

b)\(ad< bc\Leftrightarrow\dfrac{ad}{bd}< \dfrac{bc}{bd}\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}.\)

Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)

\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)

\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Vì \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) nên \(ad< bc\)

\(\Rightarrow ad+ab< bc+ab\)

\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) (đpcm)

Chúc Bạn Học Tốt !!!

1) Nếu a/b>1 thì a/b>b/b<=>a>b
2)Nếu a>b thì a.z>b.z=>a/b>z/z<=>a/b>1
3)Nếu a/b<1 thì a/b<b/b<=>a<b
4)Nếu a<b=>a.z<b.z=>a/b<z/z<=>a/b<1

Để \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) thì a(b+d) < b(a+c)

<=> ab + ad < ba + cb

<=> ad < cb

<=> \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

Để \(\dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\) thì (a+c)d < (b+d)c

<=> ad + cd < bc + dc

<=> ad < bc

<=> \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\)

Chúc bạn học tốt!