a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>\(AH=\frac{48}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B\(=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac45\)

nên \(\hat{B}\) ≃53 độ

b: Xét ΔABC vuông tại A có

\(cosB=\frac{AB}{BC};cosC=\frac{AC}{BC}\)

\(AB\cdot cosB+AC\cdot cosC\)

\(=AB\cdot\frac{AB}{BC}+AC\cdot\frac{AC}{BC}\)

\(=\frac{AB^2+AC^2}{BC}=\frac{BC^2}{BC}=BC\)

Xét trường hợp D nằm ngoài OC (trường hợp còn lại em tự xét).

a.

Do đường tròn đường kính OA cắt OC tại D nên ∠ADO là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\angle ADO=90^0\Rightarrow\angle ADC=90^0\)

=>D thuộc đường tròn đường kính AC (1)

Do CH⊥AB tại H nên \(\angle AHC=90^0\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AC (2)

(1),(2) =>4 điểm A,C,D,H đồng viên

b.

Do A,C,D,H đồng viên (cmt) nên ∠ACD=∠AHD (cùng chắn AD) (3)

Lại có OA=OC (cùng là bán kính của (O)) =>ΔOAC cân tại O

=>∠ACD=∠CAO (4)

(3),(4) =>∠AHD=∠CAO

=>HD song song AC (hai góc so le trong bằng nhau)

bài 4: gọi x; y (km/h) lần lượt là vận tốc ban đầu của xe đi từ A và xe đi từ B (x, y >0)

*trường hợp 1:

Quãng đường xe đi từ A đến lúc gặp: 7,5x (km)

quãng đường xe đi từ B đến lúc gặp: 7,5y(km)

vì 2 xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 7g30p nên ta có:

\(\left(x+Y\right)\cdot7,5=525\Rightarrow x+y=70\left(1\right)\)

*trường hợp 2

Vận tốc của xe A khi tăng gấp đôi ngay từ đầu là: 2x (km/h)

Quãng đường xe đi từ A đến lúc gặp: \(2x\cdot5,25\left(\operatorname{km}\right)\)

quãng đường xe đi từ B đến lúc gặp: 5,25y (km)

vì 2 xe gặp nhau sau 5 giờ 15 phút nên ta có:

\(\left(2x+y\right)\cdot5,25=525\Rightarrow2x+y=100\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\begin{cases}x+y=70\\ 2x+y=100\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=30\\ y=40\end{cases}\left(TM\right)\)

vậy vận tốc ban đầu của xe đi từ A và xe đi từ B lần lượt là 30km/h và 40km/h

bài 5: gọi x, y, z (m vuông) lần lượt là diện tích lô 1, lô 2 và lô 3 (x,y,z > 0)

lô 1 gấp 3/2 lần tổng diện tích 2 lô còn lại nên:

\(x=\frac32\cdot\left(y+z\right)\)

lô 3 lớn hơn lô 2 200m² nên ta có:

\(y+200=z\)

mà khu đất đó có diện tích là 2000m² nên:

\(\frac32\cdot\left(y+z\right)+y+z=2000\)

\(\Rightarrow\frac52\cdot\left(y+z\right)=2000\)

\(\Rightarrow y+z=800\)

Mà z = y + 200 nên

\(y+y+200=800\Rightarrow2y=600\Rightarrow y=300\) (TM)

⇒ z = 300 + 200 = 500 (TM)

⇒ x = \(\frac32\cdot\left(500+300\right)=1200\) (TM)

Vậy diện tích lô 1, lô 2, lô 3 lần lượt là 1200m², 300m², 500m²

Bài 5

a) Gọi a (h), b (h) lần lượt là thời gian làm một mình xong công việc của người thợ thứ nhất và người thợ thứ hai (x, y > 0)

Trong 1 h, người thứ nhất làm được số công việc là:

Trong 1 h, người thứ hai làm được số công việc là:

Trong 1 h, hai người cùng làm được số công việc là:

Trong 3 h, người thứ nhất làm được số công việc là:

Trong 6 h, người thứ hai làm được số công việc là:

Đặt:

Thế (3) vào (4), ta có:

⇒ b = 48 (nhận)

Thế b = 48 vào (1), ta có:

⇒ a = 24 (nhận)

Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất xong công việc trong 24 h, người thứ hai xong công việc trong 48 h

tự nghĩ đi

a: \(\begin{cases}3x-2y=7\\ -6x+4y=-9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x-4y=14\\ -6x+4y=-9\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6x-4y-6x+4y=14-9=5\\ 3x-2y=7\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0y=5\\ 3x-2y=7\end{cases}\)

=>Hệ vô nghiệm

b: \(\begin{cases}2x+4y=9\\ -3x-6y=-27\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}6x+8y=18\\ -6x-12y=-54\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}6x+8y-6x-12y=18-54=-36\\ 2x+4y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-4y=-36\\ 2x=9-4y\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y=9\\ 2x=9-4\cdot9=9-36=-27\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}y=9\\ x=-\frac{27}{2}\end{cases}\)

c: \(\begin{cases}5x+y=3\\ 4x-2y=9\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}10x+2y=6\\ 4x-2y=9\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}10x+2y+4x-2y=6+9\\ 5x+y=3\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}14x=15\\ y=3-5x\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{15}{14}\\ y=3-5\cdot\frac{15}{14}=3-\frac{75}{14}=\frac{42}{14}-\frac{75}{14}=\frac{-33}{14}\end{cases}\)

d: \(\begin{cases}2x-3y=-5\\ -4x+6y=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}4x-6y=-10\\ -4x+6y=10\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}4x-6y-4x+6y=-10+10=0\\ 2x-3y=-5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0y=0\\ 2x=3y-5\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}y\in R\\ x=\frac{3y-5}{2}\end{cases}\)

\(a.\begin{cases}3x-2y=7\\ -6x+4y=-9\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}6x-4y=7\left(1\right)\\ -6x+4y=-9\left(2\right)\end{cases}\)

lấy (1) + (2) ta được:

0x + 0y = -2

vậy phương trình trên vô nghiệm

\(b.\begin{cases}2x-4y=9\\ -3x-6y=-27\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}6x-12y=27\left(1\right)\\ -6x-12y=-54\left(2\right)\end{cases}\)

lấy (1) - (2) ta được:

12x = 81

⇒ x = 81 : 12 = 6,75

thay x = 6,75 vào (1) ta được:

\(6\cdot6,75-12y=27\)

40,5 - 12y = 27

12y = 40,5 - 27

12y = 13,5

y = 13,5 : 12 = 1,125

kết luận: (x; y) = (6,75; 1,125)

\(c.\begin{cases}5x+y=3\\ 4x-2y=9\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}10x+2y=6\left(1\right)\\ 4x-2y=9\left(2\right)\end{cases}\)

lấy (1) + (2) ta được:

14x = 15

x = 15 : 14 = \(\frac{15}{14}\) (3)

thay (3) vào (1) ta được:

\(10\cdot\frac{15}{14}+2y=6\)

\(\frac{75}{7}+2y=6\)

\(2y=6-\frac{75}{7}\)

\(2y=-\frac{33}{7}\)

\(y=-\frac{33}{7}:2=-\frac{33}{7}\cdot\frac12=-\frac{33}{14}\)

kết luận: \(\left(x;y\right)=\left(\frac{15}{14};-\frac{33}{14}\right)\)

\(d.\begin{cases}2x-3y=-5\\ -4x+6y=10\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}4x-6y=-10\left(1\right)\\ -4x+6y=10\left(2\right)\end{cases}\)

lấy (1) + (2) ta được:

0x + 0y = 0

vậy hệ có vô số nghiệm