a: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC^2=6^2+8^2=36+64=100=10^2\)

=>BC=10(cm)

Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

=>\(AH\cdot10=6\cdot8=48\)

=>\(AH=\frac{48}{10}=4,8\left(\operatorname{cm}\right)\)

Xét ΔABC vuông tại A có sin B\(=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=\frac45\)

nên \(\hat{B}\) ≃53 độ

b: Xét ΔABC vuông tại A có

\(cosB=\frac{AB}{BC};cosC=\frac{AC}{BC}\)

\(AB\cdot cosB+AC\cdot cosC\)

\(=AB\cdot\frac{AB}{BC}+AC\cdot\frac{AC}{BC}\)

\(=\frac{AB^2+AC^2}{BC}=\frac{BC^2}{BC}=BC\)

Xét trường hợp D nằm ngoài OC (trường hợp còn lại em tự xét).

a.

Do đường tròn đường kính OA cắt OC tại D nên ∠ADO là góc nt chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\angle ADO=90^0\Rightarrow\angle ADC=90^0\)

=>D thuộc đường tròn đường kính AC (1)

Do CH⊥AB tại H nên \(\angle AHC=90^0\Rightarrow\) H thuộc đường tròn đường kính AC (2)

(1),(2) =>4 điểm A,C,D,H đồng viên

b.

Do A,C,D,H đồng viên (cmt) nên ∠ACD=∠AHD (cùng chắn AD) (3)

Lại có OA=OC (cùng là bán kính của (O)) =>ΔOAC cân tại O

=>∠ACD=∠CAO (4)

(3),(4) =>∠AHD=∠CAO

=>HD song song AC (hai góc so le trong bằng nhau)

Bài 3:

a: ΔOAB cân tại O

mà OH là đường cao

nên OH là phân giác của góc AOB và H là trung điểm của BC

b: OH là phân giác của góc AOB

=>\(\hat{AOH}=\hat{BOH}=\frac12\cdot\hat{AOB}=60^0\)

Xét ΔOHA vuông tại H có cos HOA\(=\frac{OH}{OA}\)

=>\(\frac{OH}{R}=cos60=\frac12\)

=>\(OH=\frac{R}{2}\)

ΔOHA vuông tại H

=>\(HO^2+HA^2=OA^2\)

=>\(HA^2=R^2-\left(\frac{R}{2}\right)^2=R^2-\frac{R^2}{4}=\frac34R^2\)

=>\(HA=\frac{R\sqrt3}{2}\)

H là trung điểm của AB

=>\(AB=2\cdot AH=2\cdot\frac{R\sqrt3}{2}=R\sqrt3\)

Diện tích tam giác OAB là:

\(S_{OAB}=\frac12\cdot OH\cdot AB=\frac12\cdot R\cdot R\sqrt3=\frac{R^2\sqrt3}{2}\)

c: Xét ΔCOA có OC=OA và \(\hat{AOC}=60^0\)

nên ΔCOA đều

=>CA=AC=OC=R

Xét ΔCOB có OC=OB và \(\hat{BOC}=60^0\)

nên ΔBOC đều

=>BO=OC=BC=R

Xét tứ giác OACB có OA=CA=CB=OB

nên OACB là hình thoi

Bài 2:

a: ΔOAB cân tại O

mà OM là đường trung tuyến

nên OM⊥AB tại M
b: ΔOAB vuông tại O

=>\(OA^2+OB^2=AB^2\)

=>\(AB^2=R^2+R^2=2R^2\)

=>\(AB=R\sqrt2\)

ΔOAB vuông tại O có OM là đường trung tuyến

nên \(OM=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt2}{2}\)

Bài 1:

a: Xét tứ giác BEDC có \(\hat{BEC}=\hat{BDC}=90^0\)

nên BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,E,D,C cùng thuộc một đường tròn

b: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}+\hat{AEH}=90^0+90^0=180^0\)

nên ADHE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn

c: BEDC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>ED<BC

ADHE nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>DE<AH

Bài 6:

a: ĐKXĐ: x∉{0;2}

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x+2}{x-2}\)

=>\(\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}+\frac{2}{x\left(x-2\right)}=\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)}\)

=>\(x-2+2=x\left(x+2\right)\)

=>x(x+2)=x

=>x(x+2)-x=0

=>x(x+2-1)=0

=>x(x+1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\left(loại\right)\\ x+1=0\end{array}\right.\Rightarrow x+1=0\)

=>x=-1(nhận )

b: ĐKXĐ: y∉{0;-5;5}

Ta có: \(\frac{y+5}{y^2-5y}-\frac{y-5}{2y^2+10y}=\frac{y+25}{2y^2-50}\)

=>\(\frac{y+5}{y\left(y-5\right)}-\frac{y-5}{2y\left(y+5\right)}=\frac{y+25}{2\left(y-5\right)\left(y+5\right)}\)

=>\(\frac{2\left(y+5\right)^2}{2y\left(y+5\right)\left(y-5\right)}-\frac{\left(y-5\right)^2}{2y\left(y+5\right)\left(y-5\right)}=\frac{y\left(y+25\right)}{2y\left(y+5\right)\left(y-5\right)}\)

=>\(2\left(y+5\right)^2-\left(y-5\right)^2=y\left(y+25\right)\)

=>\(2y^2+20y+50-y^2+10y-25=y^2+25y\)

=>\(y^2+30y+25=y^2+25y\)

=>5y=-25

=>y=-5(loại)

Bài 7:

a: ĐKXĐ: x<>1

\(\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4}{x^2+x+1}\)

=>\(\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{4}{x^2+x+1}\)

=>\(\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x^2-5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}\)

=>\(x^2+x+1+2x^2-5=4\left(x-1\right)\)

=>\(3x^2+x-4=4x-4\)

=>\(3x^2-3x=0\)

=>3x(x-1)=0

=>x(x-1)=0

=>\(\left[\begin{array}{l}x=0\left(nhận\right)\\ x=1\left(loại\right)\end{array}\right.\)

b: ĐKXĐ: x<>2

Ta có: \(\frac{2x^2}{x^3-8}+\frac{x+1}{x^2+2x+4}=\frac{3}{x-2}\)

=>\(\frac{2x^2}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}+\frac{\left(x+1\right)}{x^2+2x+4}=\frac{3}{x-2}\)

=>\(\frac{2x^2}{\left(x-2\right)\cdot\left(x^2+2x+4\right)}+\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}=\frac{3\left(x^2+2x+4\right)}{\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)}\)

=>\(2x^2+\left(x+1\right)\left(x-2\right)=3\left(x^2+2x+4\right)\)

=>\(2x^2+x^2-x-2=3x^2+6x+12\)

=>6x+12=-x-2

=>7x=-14

=>x=-2(nhận)

c: ĐKXĐ: x∉{1;4}

Ta có: \(\frac{2x+1}{x^2-5x+4}+\frac{5}{x-1}=\frac{2}{x-4}\)

=>\(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}+\frac{5}{x-1}=\frac{2}{x-4}\)

=>\(\frac{2x+1}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}+\frac{5\left(x-4\right)}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}=\frac{2\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-4\right)}\)

=>2x+1+5(x-4)=2(x-1)

=>2x+1+5x-20=2x-2

=>7x-19=2x-2

=>5x=17

=>\(x=\frac{17}{5}\) (nhận)