a: Xét tứ giác SAOB có \(\hat{SAO}+\hat{SBO}=90^0+90^0=180^0\)

nên SAOB là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính SO

b: ΔOMN cân tại O

mà OI là đường trung tuyến

nên OI⊥MN tại I

Ta có: \(\hat{OIS}=\hat{OAS}=\hat{OBS}=90^0\)

=>O,I,A,S,B cùng thuộc đường tròn đường kính OS
c: Xét (O) có

SA,SB là các tiếp tuyến

Do đó: SA=SB

=>S nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra SO là đường trung trực của AB

=>SO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB

Xét ΔSAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(SH\cdot SO=SA^2\)

d: Xét (O) có

\(\hat{SAM}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AS và dây cung AM

\(\hat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

Do đó: \(\hat{SAM}=\hat{ANM}\)

Xét ΔSAM và ΔSNA có

\(\hat{SAM}=\hat{SNA}\)

góc ASM chung

Do đó: ΔSAM~ΔSNA

=>\(\frac{SA}{SM}=\frac{SN}{SA}\)

=>\(SA^2=SM\cdot SN\)

Gọi (d): y=ax+b(a<>0) là phương trình đường thẳng AB

Thay x=3 và y=4 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot3+b=4\)

=>3a+b=4(1)

Thay x=5 và y=2 vào y=ax+b, ta được:

\(a\cdot5+b=2\)

=>5a+b=2(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình: \(\begin{cases}3a+b=4\\ 5a+b=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}3a+b-5a-b=4-2=2\\ 3a+b=4\end{cases}\)

=>\(\begin{cases}-2a=2\\ 3a+b=4\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=-1\\ b=4-3a=4-3\cdot\left(-1\right)=7\end{cases}\)

Vậy: AB: y=-x+7

giao điểm của d1 và d2 là nghiệm của phương trình:

\(\begin{cases}5x-17y=8\\ 15x+7y=82\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x=5\\ y=1\end{cases}\)

⇒ A (5; 1)

để 3 đường thẳng này đồng quy thì d3 đi qua A (5;1)

ta có: \(\left(2m-1\right)x-2my=m+2\)

\(\left(2m-1\right)\cdot5-2m\cdot1=m+2\)

10m - 5 - 2m = m + 2

10m - 2m - m = 5 + 2

7m = 7

⇒ m = 1

vậy m = 1 thì 3 đường thẳng này đồng quy