Câu hỏi của Dũng Hồ

Question

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

a: Xét ΔABC có $cosA=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{\left(7a\right)^2+\left(9a\right)^2-\left(8a\right)^2}{2\cdot7a\cdot9a}$

$=\frac{49a^2+81a^2-64a^2}{14a\cdot9a}=\frac{49+81-64}{14\cdot9}=\frac{49+17}{126}=\frac{66}{126}=\frac{11}{21}$

M là trung điểm của AB

=>$AM=MB=\frac{AB}{2}=\frac{7a}{2}=3,5a$

AN=2NC

=>$AN=\frac23AC=\frac23\cdot9a=6a$

=>NC=6a:2=3a

Xét ΔAMN có $cosMAN=\frac{AM^2+AN^2-MN^2}{2\cdot AM\cdot AN}$

=>$\left(3,5a\right)^2+\left(6a\right)^2-MN^2=2\cdot3,5a\cdot6a\cdot\frac{11}{21}$

=>$12,25a^2+36a^2-MN^2=22a^2$

=>$MN^2=26,25a^2$

=>$MN=a\sqrt{\frac{105}{4}}=\frac{a\sqrt{105}}{2}$

b: Xét ΔCAB có CM là đường trung tuyến

nên $CM^2=\frac{CA^2+CB^2}{2}-\frac{AB^2}{4}=\frac{\left(8a\right)^2+\left(9a\right)^2}{2}-\frac{\left(7a\right)^2}{4}=\frac{2\left(64a^2+81a^2\right)-49a^2}{4}=\frac{241}{4}a^2$

=>$CM=\frac{a\sqrt{241}}{2}$

c: Xét ΔABN có cos BAN=$\frac{AB^2+AN^2-BN^2}{2\cdot AB\cdot AN}$

=>$\left(7a\right)^2+\left(6a\right)^2-BN^2=2\cdot7a\cdot6a\cdot\frac{11}{21}$

=>$49a^2+36a^2-BN^2=44a^2$

=>$BN^2=49a^2+36a^2-44a^2=41a^2$

=>$BN=a\sqrt{41}$

d: Xét ΔABC có AD là phân giác

nên $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$

=>$\frac{DB}{7}=\frac{DC}{9}$

mà DB+DC=BC=8a

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

$\frac{DB}{7}=\frac{DC}{9}=\frac{DB+DC}{7+9}=\frac{8a}{16}=0,5a$

=>DB=3,5a; DC=4,5a

Xét ΔBAC có $cosB=\frac{BA^2+BC^2-AC^2}{2\cdot BA\cdot BC}$

$=\frac{\left(7a\right)^2+\left(8a\right)^2-\left(9a\right)^2}{2\cdot7a\cdot8a}=\frac{49a^2+64a^2-81a^2}{14a\cdot8a}=\frac{32}{112}=\frac27$

Xét ΔBAD có cos B$=\frac{BA^2+BD^2-AD^2}{2\cdot BA\cdot BD}$

=>$\frac{\left(7a\right)^2+\left(3,5a\right)^2-AD^2}{2\cdot7a\cdot3,5a}=\frac27$

=>$49a^2+12,25a^2-AD^2=\frac27\cdot7a\cdot7a=2a\cdot7a=14a^2$

=>$AD^2=49a^2+12,25a^2-14a^2=47,25a^2$

=>$AD=\sqrt{\frac{189}{4}a^2}=a\cdot\frac{\sqrt{189}}{2}=\frac{a\cdot3\sqrt{21}}{2}$

Câu trả lời: